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Para resolver este sistema de ecuaciones por el método de Gauss, seguiremos estos pasos: primero, planteamos la matriz aumentada, luego realizamos operaciones fila para obtener una matriz escalonada y finalmente resolvemos para encontrar los valores de \( A \), \( B \) y \( C \).

El sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{cases}
2A + B + C = 10 \\
A + 3B + 2C = 18 \\
3A + 2B + C = 15
\end{cases}
\]

### Paso 1: Construir la matriz aumentada

La matriz aumentada es:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & | & 10 \\
1 & 3 & 2 & | & 18 \\
3 & 2 & 1 & | & 15 \\
\end{bmatrix}
\]

### Paso 2: Convertir la matriz aumentada a forma escalonada mediante operaciones fila

#### Paso 2.1: Hacer que el primer elemento en la primera fila sea 1
Dividimos la primera fila entre 2:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 0.5 & | & 5 \\
1 & 3 & 2 & | & 18 \\
3 & 2 & 1 & | & 15 \\
\end{bmatrix}
\]

#### Paso 2.2: Hacer ceros debajo del primer 1
Restamos la primera fila de la segunda fila y 3 veces la primera fila de la tercera fila:
- F2 = F2 - F1
- F3 = F3 - 3 * F1

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 0.5 & | & 5 \\
0 & 2.5 & 1.5 & | & 13 \\
0 & 0.5 & -0.5 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

#### Paso 2.3: Hacer que el segundo pivote sea 1
Dividimos la segunda fila entre 2.5:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 0.5 & | & 5 \\
0 & 1 & 0.6 & | & 5.2 \\
0 & 0.5 & -0.5 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

#### Paso 2.4: Hacer ceros debajo y encima del segundo pivote
- F3 = F3 - 0.5 * F2
- F1 = F1 - 0.5 * F2

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0.2 & | & 2.4 \\
0 & 1 & 0.6 & | & 5.2 \\
0 & 0 & -0.8 & | & -2.6 \\
\end{bmatrix}
\]

#### Paso 2.5: Hacer que el tercer pivote sea 1
Dividimos la tercera fila entre -0.8:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0.2 & | & 2.4 \\
0 & 1 & 0.6 & | & 5.2 \\
0 & 0 & 1 & | & 3.25 \\
\end{bmatrix}
\]

#### Paso 2.6: Hacer ceros encima del tercer pivote
- F1 = F1 - 0.2 * F3
- F2 = F2 - 0.6 * F3

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1.75 \\
0 & 1 & 0 & | & 3.25 \\
0 & 0 & 1 & | & 3.25 \\
\end{bmatrix}
\]

### Solución

Finalmente, la solución del sistema es:

\[
A = 1.75, \quad B = 3.25, \quad C = 3.25
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre el método?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se aplican las operaciones de fila en otros métodos de eliminación de Gauss?
2. ¿Qué diferencias existen entre el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan?
3. ¿Cómo afecta la posición de los pivotes en la matriz aumentada al sistema?
4. ¿Cuándo es conveniente usar el método de Gauss en lugar de otros métodos de resolución de sistemas lineales?
5. ¿Cómo interpretar los resultados cuando el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones?

### Tip

Recuerda que en el método de eliminación de Gauss es clave mantener la matriz aumentada organizada y seguir las operaciones de fila cuidadosamente para evitar errores.

Plantea el sistema de ecuaciones y resuelve por el método de Gauss para encontrar el precio de cada producto.

Learn how to solve the system of linear equations using the Gaussian elimination method to find the price of each product. This problem covers key concepts in linear algebra and systems of equations, including matrix operations. Suitable for students in Grades 10-12.

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