Soal Pertidaksamaan:

$\frac{x-2}{x^2} \leq \frac{x+1}{x-3}$

Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

Langkah 1: Samakan Penyebut

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, pertama kita samakan penyebut kedua ruas agar mudah dianalisis. Penyebut dari kedua ruas adalah $x^2$ dan $x - 3$, sehingga kita perlu mengalikan kedua ruas dengan $x^2 (x-3)$ dengan syarat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol:

• $x \neq 0$ (dari $x^2$)
• $x \neq 3$ (dari $x - 3$).

Dengan ini, pertidaksamaan menjadi:
$(x-2)(x-3) \leq (x+1)x^2$

Langkah 2: Sederhanakan Bentuk Pertidaksamaan

Kita kalikan masing-masing suku:

1. Sisi kiri: $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$.
2. Sisi kanan: $(x+1)x^2 = x^3 + x^2$.

Sehingga pertidaksamaan menjadi:
$x^2 - 5x + 6 \leq x^3 + x^2$

Selanjutnya, pindahkan semua suku ke satu sisi:
$0 \leq x^3 + x^2 - x^2 + 5x - 6$
Menyederhanakan:
$0 \leq x^3 + 5x - 6$

Atau ditulis ulang:
$x^3 + 5x - 6 \geq 0$

Langkah 3: Menentukan Akar Polinomial

Untuk menyelesaikan $x^3 + 5x - 6 = 0$, kita uji beberapa nilai $x$ untuk mencari akarnya dengan metode substitusi:

• Jika $x = 1$:
  $1^3 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$
  Jadi, $x = 1$ adalah salah satu akar.

Selanjutnya, kita faktorkan $x^3 + 5x - 6$ menggunakan $x - 1$ sebagai faktor:
$x^3 + 5x - 6 = (x - 1)(x^2 + x + 6)$

Langkah 4: Analisis Tanda

Sekarang kita analisis tanda dari faktor-faktor:
$(x - 1)(x^2 + x + 6) \geq 0$

Sifat-Sifat:

• $x^2 + x + 6$: Kuadrat sempurna dengan diskriminan negatif:
  $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23$
  Karena $\Delta < 0$, maka $x^2 + x + 6 > 0$ untuk semua $x$.

Sehingga pertidaksamaan bergantung hanya pada faktor $x - 1$:
$x - 1 \geq 0$
Artinya:
$x \geq 1$

Langkah 5: Uji Domain Penyelesaian

Ingat kembali bahwa ada syarat awal:

1. $x \neq 0$
2. $x \neq 3$

Gabungkan semua syarat:

• $x \geq 1$
• $x \neq 3$

Sehingga himpunan penyelesaian adalah:
$x \in [1, 3) \cup (3, \infty)$

Kesimpulan

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah:
$\boxed{x \in [1, 3) \cup (3, \infty)}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci tentang langkah tertentu atau ada soal terkait yang ingin didiskusikan?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara mencari faktor polinomial kubik dengan metode pembagian?
2. Apa itu syarat domain dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan?
3. Bagaimana cara mengetahui tanda fungsi polinomial di interval tertentu?
4. Apa hubungan antara diskriminan dan tanda fungsi kuadrat?
5. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan dengan penyebut nol?

Tip:

Selalu periksa syarat penyebut agar solusi tidak mencakup titik-titik yang menyebabkan penyebut menjadi nol.