https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726365676806kub2flbc.jpg

L'immagine contiene due equazioni che devono essere risolte. Vediamo come affrontarle una alla volta:

### Equazione (44): 
\[
x + x^2 + \frac{1}{4} = 0
\]
Questa è un'equazione quadratica standard. Possiamo risolverla completando il quadrato o utilizzando la formula risolutiva delle equazioni quadratiche.

### Equazione (45):
\[
\frac{49}{169}a^6 - 16b^4 = 0
\]
Questa equazione è una forma più complessa, dove compare una potenza sesta di \(a\) e una potenza quarta di \(b\). Possiamo risolverla per \(a^6\) in termini di \(b^4\), e successivamente semplificare.

Vado a risolvere entrambe le equazioni.

### Soluzione dell'equazione (44):

\[
x + x^2 + \frac{1}{4} = 0
\]

Moltiplichiamo tutto per 4 per eliminare il denominatore:
\[
4x + 4x^2 + 1 = 0
\]

Ora riscriviamo come un'equazione quadratica:
\[
4x^2 + 4x + 1 = 0
\]

Questa equazione è un quadrato perfetto, perché:
\[
(2x + 1)^2 = 0
\]

Quindi, la soluzione è:
\[
2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}
\]

### Soluzione dell'equazione (45):

\[
\frac{49}{169}a^6 - 16b^4 = 0
\]

Moltiplichiamo tutto per 169 per eliminare il denominatore:
\[
49a^6 - 16 \cdot 169b^4 = 0
\]

Semplificando:
\[
49a^6 = 16 \cdot 169b^4
\]
\[
a^6 = \frac{16 \cdot 169}{49}b^4
\]
\[
a^6 = \frac{16 \cdot 169}{49}b^4 = \frac{2704}{49}b^4
\]
\[
a^6 = 55.18b^4
\]

Questa espressione può essere ulteriormente semplificata, ma la relazione tra \(a\) e \(b\) dipenderà da altre informazioni.

---

Se hai domande su qualche passaggio, fammi sapere!

### Domande relative:
1. Come si risolvono le equazioni quadratiche con coefficienti frazionari?
2. Cosa significa "completare il quadrato" e come si applica nella risoluzione delle equazioni?
3. Come si generalizzano le soluzioni delle equazioni polinomiali di grado più alto?
4. Quali metodi alternativi esistono per risolvere equazioni complesse come la (45)?
5. Come possiamo verificare se le soluzioni trovate sono corrette?

### Consiglio:
Nelle equazioni con frazioni, eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i lati è spesso un primo passo utile per semplificare i calcoli.

Risolvi le seguenti equazioni: x + x^2 + 1/4 = 0 e 49/169 * a^6 - 16b^4 = 0

Step-by-step solution for solving quadratic and polynomial equations like x + x^2 + 1/4 = 0 and 49/169 * a^6 - 16b^4 = 0. This problem involves key algebraic techniques such as using the quadratic formula, simplifying powers, and factoring perfect squares. Ideal for high school students in Grades 9-12.

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