Pour résoudre cet exercice, nous allons traiter les différentes parties une à une :

1) Détermination des images par $f$ et $g$ des nombres suivants : -1, \sqrt{3}, et 5.

Fonction $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ :

Nous allons calculer les images de -1, $\sqrt{3}$, et 5.

• Pour $x = -1$ : $f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$

• Pour $x = \sqrt{3}$ : $f(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3}) + 1 = -3 + 2\sqrt{3} + 1 = -2 + 2\sqrt{3}$ (L'expression reste sous cette forme).

• Pour $x = 5$ : $f(5) = -(5)^2 + 2(5) + 1 = -25 + 10 + 1 = -14$

Fonction $g(x) = -x + 1$ :

Nous allons calculer les images de -1, $\sqrt{3}$, et 5.

• Pour $x = -1$ : $g(-1) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$

• Pour $x = \sqrt{3}$ : $g(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + 1$ (L'expression reste sous cette forme).

• Pour $x = 5$ : $g(5) = -(5) + 1 = -5 + 1 = -4$

2) Vérification des affirmations :

a) La courbe $C$, passe par le point (-2 ; -7).

Cela signifie que pour $x = -2$, $g(-2) = -7$. Vérifions cela :

$g(-2) = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3$ Donc, l'affirmation est fausse car $g(-2) = 3$, et non -7.

b) L'image de 0 par $g$ est 1.

Calculons $g(0)$ : $g(0) = -(0) + 1 = 1$ Donc, l'affirmation est vraie.

c) $\sqrt{2} - 1$ est un antécédent de 0 par $f$.

Cela signifie qu'il faut vérifier si $f(\sqrt{2} - 1) = 0$.

Calculons $f(\sqrt{2} - 1)$ : $f(\sqrt{2} - 1) = -(\sqrt{2} - 1)^2 + 2(\sqrt{2} - 1) + 1$ Développons : $f(\sqrt{2} - 1) = -(\sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2} - 2 + 1$ $f(\sqrt{2} - 1) = -(2 - 2\sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2} - 1$ $f(\sqrt{2} - 1) = -3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 1 = 4\sqrt{2} - 4$ Cette expression n'est pas égale à 0, donc l'affirmation est fausse.

Conclusion des réponses :

1. Les images sont :

   • $f(-1) = -2$, $f(\sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3}$, $f(5) = -14$
   • $g(-1) = 2$, $g(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + 1$, $g(5) = -4$

2. Les affirmations :

   • a) Fausse
   • b) Vraie
   • c) Fausse

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Tip :

Lorsque vous travaillez avec des fonctions quadratiques, essayez de factoriser ou de compléter le carré pour résoudre des équations plus facilement.