Exercice 21 Soit f et g les fonctions définies par f (x) = -x² + 2x + 1 et g(x) = -x + 1. On note Cr et C leurs courbes représentatives respectives. 1) Déterminer les images par f et g des nombres suivants: - 1; √3 et 5. 2) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse: a) La courbe C, passe par le point (- 2; - 7); b) L'image de 0 par g est 1; c) (√Z- 1) est un antécédent de 0 par f.

Pour résoudre cet exercice, nous allons traiter les différentes parties une à une :

### 1) **Détermination des images par \( f \) et \( g \) des nombres suivants : -1, \sqrt{3}, et 5.**

#### Fonction \( f(x) = -x^2 + 2x + 1 \) :
Nous allons calculer les images de -1, \(\sqrt{3}\), et 5.

- **Pour \( x = -1 \)** :
  \[
  f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2
  \]

- **Pour \( x = \sqrt{3} \)** :
  \[
  f(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3}) + 1 = -3 + 2\sqrt{3} + 1 = -2 + 2\sqrt{3}
  \]
  (L'expression reste sous cette forme).

- **Pour \( x = 5 \)** :
  \[
  f(5) = -(5)^2 + 2(5) + 1 = -25 + 10 + 1 = -14
  \]

#### Fonction \( g(x) = -x + 1 \) :
Nous allons calculer les images de -1, \(\sqrt{3}\), et 5.

- **Pour \( x = -1 \)** :
  \[
  g(-1) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
  \]

- **Pour \( x = \sqrt{3} \)** :
  \[
  g(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + 1
  \]
  (L'expression reste sous cette forme).

- **Pour \( x = 5 \)** :
  \[
  g(5) = -(5) + 1 = -5 + 1 = -4
  \]

### 2) **Vérification des affirmations :**

#### a) **La courbe \( C \), passe par le point (-2 ; -7)**.
Cela signifie que pour \( x = -2 \), \( g(-2) = -7 \). Vérifions cela :

\[
g(-2) = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3
\]
Donc, **l'affirmation est fausse** car \( g(-2) = 3 \), et non -7.

#### b) **L'image de 0 par \( g \) est 1.**

Calculons \( g(0) \) :
\[
g(0) = -(0) + 1 = 1
\]
Donc, **l'affirmation est vraie**.

#### c) **\(\sqrt{2} - 1\) est un antécédent de 0 par \( f \).**

Cela signifie qu'il faut vérifier si \( f(\sqrt{2} - 1) = 0 \).

Calculons \( f(\sqrt{2} - 1) \) :
\[
f(\sqrt{2} - 1) = -(\sqrt{2} - 1)^2 + 2(\sqrt{2} - 1) + 1
\]
Développons :
\[
f(\sqrt{2} - 1) = -(\sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2} - 2 + 1
\]
\[
f(\sqrt{2} - 1) = -(2 - 2\sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2} - 1
\]
\[
f(\sqrt{2} - 1) = -3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 1 = 4\sqrt{2} - 4
\]
Cette expression n'est pas égale à 0, donc **l'affirmation est fausse**.

### Conclusion des réponses :
1. Les images sont :
   - \( f(-1) = -2 \), \( f(\sqrt{3}) = -2 + 2\sqrt{3} \), \( f(5) = -14 \)
   - \( g(-1) = 2 \), \( g(\sqrt{3}) = -\sqrt{3} + 1 \), \( g(5) = -4 \)

2. Les affirmations :
   - a) Fausse
   - b) Vraie
   - c) Fausse

### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? 

#### 5 Questions relatives :
1. Comment déterminer si une fonction passe par un point donné ?
2. Comment calculer les antécédents d'une fonction ?
3. Comment résoudre une équation quadratique pour trouver les antécédents d'une valeur ?
4. Qu'est-ce qu'une fonction affine et comment déterminer sa courbe représentative ?
5. Comment interpréter géométriquement les racines d'une fonction quadratique ?

#### Tip :  
Lorsque vous travaillez avec des fonctions quadratiques, essayez de factoriser ou de compléter le carré pour résoudre des équations plus facilement.

Learn how to solve quadratic and linear functions with detailed examples using f(x) = -x² + 2x + 1 and g(x) = -x + 1. This problem covers key algebraic concepts and tests statements for validity. Suitable for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation