Para resolver el problema de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 8x + 12$, sigamos estos pasos:

1. Hallar las raíces (intersección con el eje $x$):

Las intersecciones con el eje $x$ se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática $f(x) = 0$.

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Donde:

• $a = 1$
• $b = -8$
• $c = 12$

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$ $x = \frac{8 \pm 4}{2}$

Entonces, las soluciones son: $x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Por lo tanto, las intersecciones con el eje $x$ son en $P_1 = (2, 0)$ y $P_2 = (6, 0)$.

2. Hallar la intersección con el eje $y$ (donde $x = 0$):

Para encontrar la intersección con el eje $y$, evaluamos $f(0)$:

$f(0) = 0^2 - 8(0) + 12 = 12$

Por lo tanto, la intersección con el eje $y$ es en el punto $P_3 = (0, 12)$.

3. Hallar el rango de la función:

La función cuadrática $f(x) = x^2 - 8x + 12$ es una parábola con concavidad hacia arriba (ya que el coeficiente de $x^2$ es positivo). Para encontrar el valor mínimo, usamos el vértice de la parábola. La coordenada $x$ del vértice es:

$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4$

Ahora, evaluamos $f(4)$ para encontrar el valor mínimo de la función:

$f(4) = (4)^2 - 8(4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$

Entonces, el valor mínimo de $f(x)$ es $-4$, y como la parábola abre hacia arriba, el rango de la función es:

$R_f = [-4, \infty)$

4. Seleccionar la opción correcta:

Analicemos las opciones:

• La primera opción indica que el rango es $R_f = [-4, \infty)$, las intersecciones con el eje $x$ son $P_1 = (2, 0)$ y $P_2 = (6, 0)$, y la intersección con el eje $y$ es $P_3 = (0, 12)$. Esta opción es correcta.

Las demás opciones tienen errores en el rango, las intersecciones o ambos.

Respuesta:

La opción correcta es la primera.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

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Tip: Para funciones cuadráticas, el rango se determina principalmente por el valor del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.