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Para resolver el problema de la función cuadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 12 \), sigamos estos pasos:

### 1. Hallar las raíces (intersección con el eje \( x \)):
Las intersecciones con el eje \( x \) se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática \( f(x) = 0 \).

\[
x^2 - 8x + 12 = 0
\]

Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde:
- \( a = 1 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = 12 \)

\[
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 4}{2}
\]

Entonces, las soluciones son:
\[
x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6
\]
\[
x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Por lo tanto, las intersecciones con el eje \( x \) son en \( P_1 = (2, 0) \) y \( P_2 = (6, 0) \).

### 2. Hallar la intersección con el eje \( y \) (donde \( x = 0 \)):
Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \):

\[
f(0) = 0^2 - 8(0) + 12 = 12
\]

Por lo tanto, la intersección con el eje \( y \) es en el punto \( P_3 = (0, 12) \).

### 3. Hallar el rango de la función:
La función cuadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) es una parábola con concavidad hacia arriba (ya que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo). Para encontrar el valor mínimo, usamos el vértice de la parábola. La coordenada \( x \) del vértice es:

\[
x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4
\]

Ahora, evaluamos \( f(4) \) para encontrar el valor mínimo de la función:

\[
f(4) = (4)^2 - 8(4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4
\]

Entonces, el valor mínimo de \( f(x) \) es \( -4 \), y como la parábola abre hacia arriba, el rango de la función es:

\[
R_f = [-4, \infty)
\]

### 4. Seleccionar la opción correcta:
Analicemos las opciones:

- La primera opción indica que el rango es \( R_f = [-4, \infty) \), las intersecciones con el eje \( x \) son \( P_1 = (2, 0) \) y \( P_2 = (6, 0) \), y la intersección con el eje \( y \) es \( P_3 = (0, 12) \). Esta opción es correcta.

Las demás opciones tienen errores en el rango, las intersecciones o ambos.

### Respuesta:
La opción correcta es la primera.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determinan las intersecciones de una parábola con los ejes \( x \) y \( y \)?
2. ¿Qué significa el rango de una función cuadrática?
3. ¿Cómo se interpreta el vértice de una parábola en términos de su mínimo o máximo?
4. ¿Qué papel juega la fórmula cuadrática en la resolución de ecuaciones de segundo grado?
5. ¿Cómo afecta el signo del coeficiente de \( x^2 \) a la forma de la parábola?

**Tip**: Para funciones cuadráticas, el rango se determina principalmente por el valor del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Considere la función cuadrática f(x) = x^2 - 8x + 12. Seleccione la opción en la cual las tres afirmaciones son verdaderas.

Learn how to solve the quadratic function f(x) = x^2 - 8x + 12 by finding the roots, intersection points with the axes, and determining the function's range. Includes detailed explanations using the quadratic formula and vertex theorem.

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