Cho phương trình:
$z^2 - \sqrt{2}z + 1 = 0$

Bước 1: Xác định nghiệm bằng công thức nghiệm bậc hai

Phương trình có dạng tổng quát:
$az^2 + bz + c = 0$ với $a = 1$, $b = -\sqrt{2}$, $c = 1$.

Áp dụng công thức nghiệm:
$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Bước 2: Tính biệt thức

$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4(1)(1) = 2 - 4 = -2$ Vì $\Delta < 0$, phương trình có hai nghiệm phức.

Bước 3: Tính nghiệm

$z = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-2}}{2}$ Vì $\sqrt{-2} = i\sqrt{2}$, ta có:
$z = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2}$

Bước 4: Rút gọn

$z = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$

Kết luận, hai nghiệm của phương trình là:
$z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ Đây chính là dạng lượng giác của số phức, tương ứng với góc $\frac{\pi}{4}$ và $-\frac{\pi}{4}$.

---

Bạn có cần giải thích chi tiết hơn không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao khi $\Delta < 0$, phương trình lại có nghiệm phức?
2. Làm thế nào để chuyển một số phức sang dạng lượng giác?
3. Cách tìm căn bậc hai của một số phức như thế nào?
4. Nghiệm của phương trình có liên hệ gì với số phức trên đường tròn đơn vị?
5. Nếu thay $\sqrt{2}$ bằng một số khác, nghiệm có thay đổi theo quy luật gì?

💡 Mẹo: Nếu một phương trình bậc hai có hệ số thực nhưng biệt thức âm, nghiệm của nó luôn là hai số phức liên hợp!