Math Problem Statement

Solution

让我们来解决图片中的两个问题。

问题14:

在四棱柱 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,底面 ABCDABCD 为梯形,且 ADBCAD \parallel BC。经过 A1,C1,DA_1, C_1, D 三点的平面记为 α\alphaα\alphaADAD 的交点为 QQ。求证:αBB1\alpha \parallel BB_1,且 QQBB1BB_1 的中点。

解答14:

  1. 四棱柱 ABCDA1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,A1,C1,DA_1, C_1, D 三点确定平面 α\alpha
  2. 因为 ADBCAD \parallel BC,所以 α\alpha 平行于 BCBC
  3. A1B1ABA_1B_1 \parallel AB,因为它们是对应的棱边。
  4. A1,C1,DA_1, C_1, D 的平面 α\alphaADAD 相交于 QQ,并且 QQADAD 的延长线上。
  5. 因为 α\alpha 平行于 BCBC,并且 BCBCA1B1A_1B_1 是平行且不共面的直线,所以 αBB1\alpha \parallel BB_1
  6. QQADAD 的中点,意味着 QQADAD 平分。
  7. 由于平面 α\alpha 与四棱柱的对称性,可知 QQ 也是 BB1BB_1 的中点。

问题15:

在矩形 ABCDABCD 和矩形 ABEFABEF 中,AF=ADAF = ADAM=DNAM = DN,矩形 ABEFABEF 可沿 ABAB 任意翻转。

  1. 求证:当点 F,A,DF, A, D 不共线时,线段 MNMN 总平行于平面 ADFADF
  2. 不管怎样翻转矩形 ABEFABEF,线段 MNMN 总与线段 FDFD 平行,这个结论正确吗?如果不正确,请说明理由并分别给出条件成立或不成立的情况。

解答15:

  1. 因为 AF=ADAF = AD,所以点 FF 是绕点 AA 旋转得到的,与 ADAD 保持平行。
  2. AM=DNAM = DN,所以 MMNN 分别是从点 AADD 出发的相等距离点。
  3. 因此,无论 FF 如何移动,ADF\triangle ADF 始终保持形状不变,线段 MNMN 平行于平面 ADFADF
  4. 当矩形 ABEFABEF 沿 ABAB 旋转时,MNMN 平行于 FDFD 的情况需具体分析,因为旋转会改变 MNMNFDFD 的相对位置,但由于 MNMNFDFD 都在平面 ADFADF 中,它们会保持平行。

您有任何疑问或需要更详细的解答吗?以下是五个您可能感兴趣的问题:

  1. 如何证明两条直线在空间中的平行关系?
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  5. 怎样利用平面几何知识解决空间几何问题?

提示:解决几何问题时,尽量画图辅助理解,并使用几何性质和定理来辅助证明。

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