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Vamos a resolver los ejercicios del documento.

### III. Completa las siguientes operaciones.

#### 1. Suma de los siguientes polinomios:
\[5x^3 - 4x^2 + x + 9\]
\[+ 4x^2 - 2x - 3\]

Para sumar estos polinomios, combinamos los términos semejantes:
\[ (5x^3) + (-4x^2 + 4x^2) + (x - 2x) + (9 - 3) \]
\[ = 5x^3 + 0x^2 - x + 6 \]
\[ = 5x^3 - x + 6 \]

#### 2. Resta de los siguientes polinomios:
\[5x - 4 - 3x^2\]
\[- (2x + 4x^3 + 1 - 5x^2)\]

Para restar estos polinomios, distribuimos el signo negativo y combinamos los términos semejantes:
\[ (5x - 4 - 3x^2) - (2x + 4x^3 + 1 - 5x^2) \]
\[ = 5x - 4 - 3x^2 - 2x - 4x^3 - 1 + 5x^2 \]
\[ = -4x^3 + (5x^2 - 3x^2) + (5x - 2x) - 4 - 1 \]
\[ = -4x^3 + 2x^2 + 3x - 5 \]

#### 3. División de las siguientes expresiones:
\[
\frac{12x^4}{2x}
\]
\[
\frac{24x^5 + 18x^2 - 24x^5}{2x}
\]

Primero, simplificamos la primera expresión:
\[ \frac{12x^4}{2x} = 6x^3 \]

Luego, simplificamos la segunda expresión:
\[ \frac{24x^5 + 18x^2 - 24x^5}{2x} = \frac{18x^2}{2x} = 9x \]

### Ejercicios Bloque 6

#### II. Completa los sistemas de ecuaciones que plantean los siguientes problemas.

**a).** En dos disquetes de alta densidad y tres de doble densidad se almacenó un programa de 4960 kilobytes; en un disquete de alta densidad y dos de doble densidad se almacenaron 2840 kilobytes. ¿Cuál es la capacidad de un disquete de alta densidad y uno de doble densidad?

Formamos el sistema de ecuaciones:
\[ 2A + 3D = 4960 \]
\[ A + 2D = 2840 \]

Resolvemos el sistema de ecuaciones por eliminación o sustitución. Primero, multiplicamos la segunda ecuación por 2:
\[ 2(A + 2D) = 2 \times 2840 \]
\[ 2A + 4D = 5680 \]

Restamos esta ecuación de la primera:
\[ (2A + 4D) - (2A + 3D) = 5680 - 4960 \]
\[ D = 720 \]

Sustituimos $D$ en la segunda ecuación:
\[ A + 2(720) = 2840 \]
\[ A + 1440 = 2840 \]
\[ A = 1400 \]

Entonces, la capacidad de un disquete de alta densidad es 1400 kilobytes y uno de doble densidad es 720 kilobytes.

**b).** En la compra de siete cajas de taquetes y dos cajas de clavos se pagan $31.00, pero si se compran cinco cajas de taquetes y tres cajas de clavos se pagan $30.00 ¿Cuál es el precio de cada artículo?

Formamos el sistema de ecuaciones:
\[ 7T + 2C = 31 \]
\[ 5T + 3C = 30 \]

Resolvemos el sistema de ecuaciones por eliminación o sustitución. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para igualar los coeficientes de $C$:
\[ 3(7T + 2C) = 3 \times 31 \]
\[ 21T + 6C = 93 \]

\[ 2(5T + 3C) = 2 \times 30 \]
\[ 10T + 6C = 60 \]

Restamos la segunda ecuación de la primera:
\[ (21T + 6C) - (10T + 6C) = 93 - 60 \]
\[ 11T = 33 \]
\[ T = 3 \]

Sustituimos $T$ en la primera ecuación:
\[ 7(3) + 2C = 31 \]
\[ 21 + 2C = 31 \]
\[ 2C = 10 \]
\[ C = 5 \]

Entonces, el precio de una caja de taquetes es $3.00 y el precio de una caja de clavos es $5.00.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas sugeridas:
1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones por el método de sustitución?
2. ¿Cómo se simplifican fracciones algebraicas?
3. ¿Cómo se combinan términos semejantes en polinomios?
4. ¿Qué es una ecuación de primer grado y cómo se resuelve?
5. ¿Qué técnicas se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

### Consejo:
Al resolver polinomios, siempre agrupa y combina los términos semejantes para simplificar las expresiones.

Learn how to solve polynomial operations including addition, subtraction, and division of polynomials, as well as systems of equations. This problem also covers simplification of algebraic fractions. Suitable for high school students.

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