首先，我们有两条直线的方程：

1. $3x + ay + 36 = 0$
2. $ax + by - 8b = 0$

已知这两条直线互相垂直，并且它们相交于 $x$ 轴。我们将一步步解决这个问题。

1. 直线在 $x$ 轴上的交点

直线在 $x$ 轴上相交意味着 $y = 0$。因此，我们可以求出每条直线在 $x$ 轴上的交点：

• 对于第一条直线 $3x + ay + 36 = 0$，令 $y = 0$： $3x + 36 = 0 \implies x = -12$

• 对于第二条直线 $ax + by - 8b = 0$，令 $y = 0$： $ax - 8b = 0 \implies x = \frac{8b}{a}$

因为它们在 $x$ 轴上相交，所以两个 $x$ 坐标相等： $-12 = \frac{8b}{a}$

2. 直线互相垂直的条件

两条直线互相垂直的条件是它们的斜率乘积为 -1。

• 对于直线 $3x + ay + 36 = 0$，整理为斜率截距式： $y = -\frac{3}{a}x - \frac{36}{a}$ 斜率为 $-\frac{3}{a}$。

• 对于直线 $ax + by - 8b = 0$，整理为斜率截距式： $y = -\frac{a}{b}x + \frac{8b}{b}$ 斜率为 $-\frac{a}{b}$。

根据垂直条件： $-\frac{3}{a} \times -\frac{a}{b} = 1$ $\frac{3}{b} = 1 \implies b = 3$

3. 求解 $a$ 和 $b$

知道 $b = 3$，代入之前的方程： $-12 = \frac{8b}{a}$ $-12 = \frac{8 \times 3}{a}$ $-12 = \frac{24}{a}$ $a = -2$

最终答案

$a = -2, \quad b = 3$

这些是满足条件的 $a$ 和 $b$ 的值。

有其他问题吗？是否需要更详细的解释？

这里有5个相关的问题供你探索：

1. 如果两条直线平行，它们的斜率会有什么关系？
2. 如果一条直线的斜率未知，该如何确定两条直线是否垂直？
3. 如何使用行列式判断两条直线是否平行或垂直？
4. 什么情况下两条直线不会相交于 $x$ 轴？
5. 在空间中，如何判断两条直线是否垂直？

提示: 在平面几何中，直线的斜率是判断直线相互关系（如平行、垂直）的一个重要工具。