設a和b為非零常數。已知直線3x+ay+36=0与ax+by-8b=0相交於x軸，且互相垂直。求a和b

首先，我们有两条直线的方程：

1. \( 3x + ay + 36 = 0 \)
2. \( ax + by - 8b = 0 \)

已知这两条直线互相垂直，并且它们相交于 \( x \) 轴。我们将一步步解决这个问题。

### 1. 直线在 \( x \) 轴上的交点

直线在 \( x \) 轴上相交意味着 \( y = 0 \)。因此，我们可以求出每条直线在 \( x \) 轴上的交点：

- 对于第一条直线 \( 3x + ay + 36 = 0 \)，令 \( y = 0 \)：
  \[
  3x + 36 = 0 \implies x = -12
  \]

- 对于第二条直线 \( ax + by - 8b = 0 \)，令 \( y = 0 \)：
  \[
  ax - 8b = 0 \implies x = \frac{8b}{a}
  \]

因为它们在 \( x \) 轴上相交，所以两个 \( x \) 坐标相等：
\[
-12 = \frac{8b}{a}
\]

### 2. 直线互相垂直的条件

两条直线互相垂直的条件是它们的斜率乘积为 -1。

- 对于直线 \( 3x + ay + 36 = 0 \)，整理为斜率截距式：
  \[
  y = -\frac{3}{a}x - \frac{36}{a}
  \]
  斜率为 \( -\frac{3}{a} \)。

- 对于直线 \( ax + by - 8b = 0 \)，整理为斜率截距式：
  \[
  y = -\frac{a}{b}x + \frac{8b}{b}
  \]
  斜率为 \( -\frac{a}{b} \)。

根据垂直条件：
\[
-\frac{3}{a} \times -\frac{a}{b} = 1
\]
\[
\frac{3}{b} = 1 \implies b = 3
\]

### 3. 求解 \( a \) 和 \( b \)

知道 \( b = 3 \)，代入之前的方程：
\[
-12 = \frac{8b}{a}
\]
\[
-12 = \frac{8 \times 3}{a}
\]
\[
-12 = \frac{24}{a}
\]
\[
a = -2
\]

### 最终答案

\[
a = -2, \quad b = 3
\]

这些是满足条件的 \( a \) 和 \( b \) 的值。

有其他问题吗？是否需要更详细的解释？

这里有5个相关的问题供你探索：

1. 如果两条直线平行，它们的斜率会有什么关系？
2. 如果一条直线的斜率未知，该如何确定两条直线是否垂直？
3. 如何使用行列式判断两条直线是否平行或垂直？
4. 什么情况下两条直线不会相交于 \( x \) 轴？
5. 在空间中，如何判断两条直线是否垂直？

**提示**: 在平面几何中，直线的斜率是判断直线相互关系（如平行、垂直）的一个重要工具。

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