Si para un juego se arman grupos de a 3 sobran 2; si se arman grupos de a 5, sobran 4, y si se arman grupos de 4, no sobra ninguno. 

Si hay menos de 50 alumnos en el grupo, ¿cuántos alumnos juegan?

Para resolver este problema, necesitamos encontrar un número que cumpla con las siguientes condiciones:

1. Si se arman grupos de a 3, sobran 2 alumnos.
2. Si se arman grupos de a 5, sobran 4 alumnos.
3. Si se arman grupos de a 4, no sobra ningún alumno.
4. El número total de alumnos es menor a 50.

Podemos expresar estas condiciones como congruencias:

- \( n \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( n \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( n \equiv 0 \pmod{4} \)

Donde \( n \) es el número de alumnos.

### Paso 1: Resolver la congruencia \( n \equiv 0 \pmod{4} \)

Esto nos dice que \( n \) es múltiplo de 4, por lo que \( n = 4k \) para algún número entero \( k \).

### Paso 2: Sustituir en la segunda congruencia

Sustituimos \( n = 4k \) en la congruencia \( n \equiv 4 \pmod{5} \):

\[
4k \equiv 4 \pmod{5}
\]

Para que esta congruencia sea verdadera, \( k \) debe satisfacer:

\[
k \equiv 1 \pmod{5}
\]

Esto significa que \( k = 5m + 1 \) para algún número entero \( m \).

### Paso 3: Sustituir en la primera congruencia

Sustituyendo \( k = 5m + 1 \) en \( n = 4k \):

\[
n = 4(5m + 1) = 20m + 4
\]

Ahora debemos verificar que \( 20m + 4 \equiv 2 \pmod{3} \):

\[
20m + 4 \equiv 2 \pmod{3}
\]

Como \( 20 \equiv 2 \pmod{3} \), la congruencia se convierte en:

\[
2m + 1 \equiv 2 \pmod{3}
\]

Resolviendo esto obtenemos:

\[
2m \equiv 1 \pmod{3}
\]

Multiplicamos ambos lados por el inverso de 2 módulo 3, que es también 2, obteniendo:

\[
m \equiv 2 \pmod{3}
\]

Entonces, \( m = 3p + 2 \) para algún entero \( p \).

### Paso 4: Calcular \( n \) y verificar

Sustituimos \( m = 3p + 2 \) en \( n = 20m + 4 \):

\[
n = 20(3p + 2) + 4 = 60p + 40 + 4 = 60p + 44
\]

Entonces, para \( p = 0 \), \( n = 44 \). Para \( p = 1 \), \( n = 104 \), pero esto es mayor que 50, por lo que no es posible. Entonces la única solución válida es \( n = 44 \).

**El número de alumnos que juegan es 44.**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes 8 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué pasa si el número total de alumnos es mayor a 50?
2. ¿Cuántos alumnos sobran si se arman grupos de a 7?
3. ¿Cuál es el número más pequeño que cumple con \( n \equiv 3 \pmod{5} \) y \( n \equiv 2 \pmod{7} \)?
4. ¿Cómo cambiaría la solución si se arman grupos de 6 y sobran 3?
5. ¿Qué método usaste para encontrar el número de alumnos?
6. ¿Podrías generalizar este método para diferentes condiciones de grupos?
7. ¿Cómo verificarías la solución sin resolver las congruencias?
8. ¿Por qué el problema se resuelve con el Teorema Chino del Resto?

**Tip:** Cuando trabajes con congruencias, descomponerlas en pasos más pequeños y sustituir las soluciones gradualmente facilita encontrar la solución general.

Explore how to solve modular arithmetic problems involving groups of 3, 5, and 4 students. Understand the conditions where certain numbers of students leave remainders when grouped, and how to apply modular arithmetic principles. Suitable for high school students.

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