We hebben hier een complexe vergelijking met logaritmen die we willen oplossen. De vergelijking is als volgt:

$9 \log(x) \times \log_x(16) = \log_3(x^4) - \log_{27}(x^6)$

Laten we deze stap voor stap oplossen.

Stap 1: Gebruik van logaritmische eigenschappen

De termen aan beide zijden kunnen vereenvoudigd worden met de volgende eigenschappen van logaritmen:

1. Vermenigvuldigen van logaritmen: $\log_a(b) \times \log_b(c) = \log_a(c)$
2. Logaritme van een macht: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$

Stap 2: Linkerzijde vereenvoudigen

De linkerzijde is:

$9 \log(x) \times \log_x(16)$

Toepassend eigenschap 1, $\log(x) \times \log_x(16) = \log(16)$, dus:

$9 \log(x) \times \log_x(16) = 9 \cdot \log(16)$

Aangezien $\log(16) = 4 \log(2)$, kunnen we schrijven:

$9 \cdot \log(16) = 9 \cdot 4 \log(2) = 36 \log(2)$

Stap 3: Rechterzijde vereenvoudigen

De rechterzijde is:

$\log_3(x^4) - \log_{27}(x^6)$

We gebruiken de logaritmische eigenschap voor machten, zodat we dit herschrijven als:

$4 \cdot \log_3(x) - 6 \cdot \log_{27}(x)$

Aangezien $\log_{27}(x) = \frac{1}{3} \log_3(x)$, krijgen we:

$4 \cdot \log_3(x) - 6 \cdot \frac{1}{3} \log_3(x) = 4 \log_3(x) - 2 \log_3(x) = 2 \log_3(x)$

Stap 4: Vergelijking opstellen en oplossen

We hebben nu de vereenvoudigde vergelijking:

$36 \log(2) = 2 \log_3(x)$

Nu kunnen we $\log_3(x)$ uitdrukken in termen van $\log(2)$.