Mari kita selesaikan satu per satu soal integral pada gambar yang telah Anda unggah.

a. $\int (x^4 + 3x + 1)^{25} (4x^3 + 3) \, dx$

Gunakan substitusi:

• Misalkan $u = x^4 + 3x + 1$, maka turunan $u' = 4x^3 + 3$.
• Integral menjadi $\int u^{25} \, du$.

Hasil: $\int u^{25} \, du = \frac{u^{26}}{26} + C = \frac{(x^4 + 3x + 1)^{26}}{26} + C$

b. $\int \cos^{15} 2x \sin 2x \, dx$

Gunakan substitusi:

• Misalkan $u = \cos 2x$, maka turunan $du = -2 \sin 2x \, dx$ atau $-\frac{1}{2} du = \sin 2x \, dx$.
• Integral menjadi: $-\frac{1}{2} \int u^{15} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{16}}{16} + C = -\frac{\cos^{16} 2x}{32} + C$

c. $\int_{-1}^{2} (x+1)(x-1) \, dx$

Sederhanakan: $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$ Integral menjadi: $\int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{2}$ Evaluasi: $= \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right)$ $= \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$

d. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh $y = 2 - x$ dan $y = x^2$.

Cari titik potong dengan menyamakan kedua persamaan: $2 - x = x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)(x + 2) = 0$ Titik potong: $x = 1$ dan $x = -2$.

Luas daerah antara kedua kurva adalah: $\int_{-2}^{1} ((2 - x) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx$ Evaluasi integral: $= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1}$ $= \left( 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right)$ $= \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right)$ $= \left( \frac{12}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) - \left( -6 + \frac{8}{3} \right)$ $= \frac{7}{6} - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} + 6 - \frac{8}{3} = \frac{7}{6} + \frac{36}{6} - \frac{16}{6}$ $= \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

1. Bagaimana cara memilih metode substitusi yang tepat dalam integral?
2. Apa perbedaan antara metode substitusi dan integrasi parsial?
3. Mengapa diperlukan evaluasi titik batas dalam integral tentu?
4. Bagaimana menentukan daerah yang dibatasi oleh dua kurva?
5. Apa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan integral trigonometri lainnya?

Tip: Selalu cek hasil akhir integral tentu dengan memasukkan nilai batas untuk menghindari kesalahan perhitungan.