Considere la siguiente ecuación integral subíndice 0 superíndice 1 abrir paréntesis fracción numerador 4 entre denominador 10 espacio x espacio más 5 fin fracción menos fracción numerador K entre denominador 4 espacio x más 2 fin fracción cerrar paréntesis igual fracción 2 entre 5 espacio ln abrir paréntesis 3 cerrar paréntesis más fracción 3 entre 4 espacio ln abrir paréntesis 1 tercio cerrar paréntesis El valor de K es: Respuesta

Dado el problema, vamos a resolver la ecuación integral dada.

La ecuación integral es:

\[
\int_{0}^{1} \left( \frac{4}{10}x + 5 - \frac{K}{4}x + 2 \right) \, dx = \frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)
\]

Primero, simplifiquemos la expresión dentro de la integral:

\[
\frac{4}{10}x + 5 - \frac{K}{4}x + 2 = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 5 + 2 = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 7
\]

Ahora, la integral se convierte en:

\[
\int_{0}^{1} \left(\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 7 \right) \, dx 
\]

Evaluemos esta integral:

\[
\int_{0}^{1} \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x \, dx + \int_{0}^{1} 7 \, dx 
\]

La primera integral es:

\[
\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) \int_{0}^{1} x \, dx = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)
\]

La segunda integral es:

\[
7 \int_{0}^{1} \, dx = 7[x]_{0}^{1} = 7
\]

Por lo tanto, el valor total de la integral es:

\[
\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) + 7
\]

Dado que se supone que esto es igual a \(\frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)\), primero simplifiquemos el lado derecho:

\[
\frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} \ln(3) - \frac{3}{4} \ln(3) = \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{4}\right) \ln(3)
\]

Encontramos un denominador común para \(\frac{2}{5}\) y \(\frac{3}{4}\):

\[
\frac{2}{5} = \frac{8}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{15}{20}
\]
\[
\frac{8}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{7}{20}
\]

Por lo tanto, el lado derecho es \(-\frac{7}{20} \ln(3)\). Entonces, la ecuación final es:

\[
\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) + 7 = -\frac{7}{20} \ln(3)
\]

Resolviendo para \( K \), primero despejemos \(\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)\):

\[
\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) = -\frac{7}{20} \ln(3) - 7
\]

Finalmente resolvemos esta ecuación para encontrar el valor de \( K \).

Procederé con el cálculo para encontrar el valor exacto de \( K \).El valor de \( K \) es aproximadamente 60.676.

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**Tip:** Siempre verifica los límites de integración y realiza simplificaciones antes de resolver la integral para asegurar precisión en los cálculos.

Learn how to solve an integral equation involving logarithms and polynomial functions. This problem covers integration of polynomials, properties of logarithms, and applying the Fundamental Theorem of Calculus. Suitable for students in Grades 11-12.

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