Dado el problema, vamos a resolver la ecuación integral dada.

La ecuación integral es:

$\int_{0}^{1} \left( \frac{4}{10}x + 5 - \frac{K}{4}x + 2 \right) \, dx = \frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)$

Primero, simplifiquemos la expresión dentro de la integral:

$\frac{4}{10}x + 5 - \frac{K}{4}x + 2 = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 5 + 2 = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 7$

Ahora, la integral se convierte en:

$\int_{0}^{1} \left(\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 7 \right) \, dx$

Evaluemos esta integral:

$\int_{0}^{1} \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x \, dx + \int_{0}^{1} 7 \, dx$

La primera integral es:

$\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) \int_{0}^{1} x \, dx = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)$

La segunda integral es:

$7 \int_{0}^{1} \, dx = 7[x]_{0}^{1} = 7$

Por lo tanto, el valor total de la integral es:

$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) + 7$

Dado que se supone que esto es igual a $\frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)$, primero simplifiquemos el lado derecho:

$\frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} \ln(3) - \frac{3}{4} \ln(3) = \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{4}\right) \ln(3)$

Encontramos un denominador común para $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{4}$:

$\frac{2}{5} = \frac{8}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ $\frac{8}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{7}{20}$

Por lo tanto, el lado derecho es $-\frac{7}{20} \ln(3)$. Entonces, la ecuación final es:

$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) + 7 = -\frac{7}{20} \ln(3)$

Resolviendo para $K$, primero despejemos $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)$:

$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right) = -\frac{7}{20} \ln(3) - 7$

Finalmente resolvemos esta ecuación para encontrar el valor de $K$.

Procederé con el cálculo para encontrar el valor exacto de $K$.El valor de $K$ es aproximadamente 60.676.

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Tip: Siempre verifica los límites de integración y realiza simplificaciones antes de resolver la integral para asegurar precisión en los cálculos.