Tentu! Soal ini meminta kita untuk menghitung integral dari fungsi berikut:

$\int \frac{dx}{4x^2 - 9}$

Ini adalah integral dari fungsi rasional, dan untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan teknik pemfaktoran dan substitusi trigonometri atau bentuk integral standar.

Langkah 1: Pemfaktoran penyebut

Pertama, kita coba untuk memfaktorkan penyebut $4x^2 - 9$. Ini merupakan bentuk yang bisa difaktorkan menggunakan identitas kuadrat selisih:

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

Sehingga integral kita menjadi:

$\int \frac{dx}{(2x - 3)(2x + 3)}$

Langkah 2: Pemecahan dengan pecahan parsial

Sekarang kita akan menguraikan fungsi ini menjadi bentuk pecahan parsial. Kita ingin menulis:

$\frac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{A}{2x - 3} + \frac{B}{2x + 3}$

Untuk menemukan nilai $A$ dan $B$, kita kalikan kedua sisi dengan $(2x - 3)(2x + 3)$:

$1 = A(2x + 3) + B(2x - 3)$

Sekarang, kita ekspansi dan kelompokkan koefisien dari $x$:

$1 = A(2x) + A(3) + B(2x) - B(3)$

$1 = (2A + 2B)x + (3A - 3B)$

Dari sini, kita bandingkan koefisien $x$ dan konstanta:

• Koefisien $x$: $2A + 2B = 0 \quad \Rightarrow \quad A = -B$
• Konstanta: $3A - 3B = 1$

Menggunakan $A = -B$, kita masukkan ke dalam persamaan konstanta:

$3(-B) - 3B = 1 \quad \Rightarrow \quad -6B = 1 \quad \Rightarrow \quad B = -\frac{1}{6}$

Karena $A = -B$, maka $A = \frac{1}{6}$.

Langkah 3: Menyusun integral

Dengan nilai $A$ dan $B$, kita dapat menulis pecahan parsial kita sebagai:

$\frac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{1/6}{2x - 3} - \frac{1/6}{2x + 3}$

Sekarang kita dapat mengintegralkan setiap pecahan:

$\int \frac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} dx = \frac{1}{6} \int \frac{dx}{2x - 3} - \frac{1}{6} \int \frac{dx}{2x + 3}$

Masing-masing integral ini adalah bentuk standar, yaitu:

$\int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a} \ln |ax + b|$

Langkah 4: Penyelesaian

Maka, hasil integralnya adalah:

$\frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} \ln |2x - 3| - \frac{1}{2} \ln |2x + 3| \right) + C$

Sederhanakan hasilnya:

$\frac{1}{12} \ln \left| \frac{2x - 3}{2x + 3} \right| + C$

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah:

$\int \frac{dx}{4x^2 - 9} = \frac{1}{12} \ln \left| \frac{2x - 3}{2x + 3} \right| + C$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain terkait dengan topik ini?

---

Pertanyaan terkait:

1. Apa yang dimaksud dengan integral pecahan parsial?
2. Bagaimana cara memfaktorkan ekspresi kuadrat seperti $4x^2 - 9$?
3. Apa itu identitas kuadrat selisih dan bagaimana cara menggunakannya?
4. Bagaimana cara mengintegralkan fungsi bentuk $\frac{1}{ax + b}$?
5. Apa pengaruh konstanta $C$ dalam hasil integral?

Tip: Selalu perhatikan bentuk penyebut dalam integral rasional. Pemfaktoran yang tepat akan sangat memudahkan dalam menyelesaikan soal tersebut.