Câu a

Để tìm giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình:

$-x^2 + (m+1)x - 2m \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$

đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần điều kiện sau:

Bất phương trình này là một phương trình bậc 2 theo $x$. Để bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị $x$, phương trình bậc 2 tương ứng phải có nghiệm kép (nghĩa là, phương trình này không có nghiệm dương, và đường parabol phải mở xuống dưới). Điều kiện để phương trình này có nghiệm kép là định lý delta của phương trình bậc 2. Đặc biệt, với bất phương trình trên, ta sẽ áp dụng các bước sau:

1. Viết lại bất phương trình:
   $-x^2 + (m+1)x - 2m \leq 0 \quad \text{tương đương với} \quad x^2 - (m+1)x + 2m \geq 0.$

2. Xác định delta của phương trình bậc 2:

   Để phương trình $x^2 - (m+1)x + 2m = 0$ có nghiệm kép (nghĩa là có nghiệm duy nhất, hoặc không có nghiệm dương), delta phải không âm. Delta ($\Delta$) của phương trình này là:

   $\Delta = (m+1)^2 - 4 \times 1 \times 2m = (m+1)^2 - 8m.$

   Tính toán delta:

   $\Delta = m^2 + 2m + 1 - 8m = m^2 - 6m + 1.$

   Điều kiện delta không âm là:

   $m^2 - 6m + 1 \geq 0.$

3. Giải phương trình bất phương trình delta:

   Phương trình bậc 2 $m^2 - 6m + 1 = 0$ có nghiệm:

   $m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}.$

   Vậy hai nghiệm của phương trình là:

   $m_1 = 3 + 2\sqrt{2}, \quad m_2 = 3 - 2\sqrt{2}.$

   Với điều kiện $m^2 - 6m + 1 \geq 0$, ta có:

   $m \leq 3 - 2\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 3 + 2\sqrt{2}.$

   Vậy giá trị của tham số $m$ cần thỏa mãn điều kiện trên là $m \leq 3 - 2\sqrt{2}$ hoặc $m \geq 3 + 2\sqrt{2}$.

Câu b

Để tìm giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình sau luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$:

$x^2 - (2m+1)x + m > 0, \forall x \in \mathbb{R},$

ta có thể phân tích như sau:

1. Viết lại bất phương trình: $x^2 - (2m+1)x + m > 0.$

2. Xác định delta của phương trình bậc 2:

   Để phương trình $x^2 - (2m+1)x + m = 0$ không có nghiệm thực, delta phải nhỏ hơn 0. Delta của phương trình này là:

   $\Delta = (2m+1)^2 - 4 \times 1 \times m = (2m+1)^2 - 4m.$

   Tính toán delta:

   $\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m = 4m^2 + 1.$

3. Điều kiện delta nhỏ hơn 0:

   Để phương trình không có nghiệm thực, ta cần:

   $4m^2 + 1 > 0.$

   Điều này luôn đúng với mọi giá trị của $m$, vì $4m^2 + 1 \geq 1$, và không bao giờ bằng 0.

   Vậy, bất phương trình $x^2 - (2m+1)x + m > 0$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ với bất kỳ giá trị $m \in \mathbb{R}$.

---

Kết luận:

• Câu a: $m \leq 3 - 2\sqrt{2}$ hoặc $m \geq 3 + 2\sqrt{2}$.
• Câu b: Bất phương trình luôn đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Nếu bạn cần thêm giải thích chi tiết, hoặc có câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi!

---

5 câu hỏi mở rộng:

1. Tìm điều kiện cho phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt.
2. Cách phân biệt phương trình bậc 2 có nghiệm kép và nghiệm phân biệt.
3. Tìm điều kiện để một phương trình bậc 2 luôn dương đối với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.
4. Giải thích ý nghĩa hình học của delta trong phương trình bậc 2.
5. Cách kiểm tra nghiệm của một phương trình bậc 2 mà không sử dụng delta.

Mẹo:
Khi làm việc với phương trình bậc 2, luôn nhớ kiểm tra dấu delta để xác định tính chất của nghiệm (có nghiệm thực, kép, hay không có nghiệm).