Untuk menentukan solusi sistem persamaan linear (SPL) homogen:

$x + 2y - z = 0$ $x - 2y + 3z = 0$ $x + 4y - 3z = 0$

Kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau substitusi untuk mencari solusi. Karena ini adalah SPL homogen, selalu ada solusi trivial (yaitu $x = 0$, $y = 0$, dan $z = 0$). Namun, kita juga perlu mengecek apakah ada solusi non-trivial.

Langkah 1: Tulis dalam bentuk matriks

Kita susun persamaan dalam bentuk matriks:

1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ### Langkah 2: Operasi baris elementer (metode eliminasi Gauss) Kita lakukan eliminasi Gauss untuk membawa matriks ke dalam bentuk eselon baris. 1. Baris 2 dikurangi baris 1: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -4 & 4 \\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix}$$ 2. Baris 3 dikurangi baris 1: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Bagi baris 2 dengan $$-4$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ 4. Baris 3 dikurangi 2 kali baris 2: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ### Langkah 3: Substitusi mundur Dari baris ketiga, kita lihat bahwa baris ketiga adalah persamaan identitas (0 = 0), yang menunjukkan bahwa sistem ini memiliki solusi tak hingga. Baris kedua: $$y - z = 0 \implies y = z$$ Baris pertama: $$x + 2y - z = 0 \implies x + 2z - z = 0 \implies x + z = 0 \implies x = -z$$ ### Solusi umum: Solusi sistem adalah dalam bentuk parameter $$z$$: $$x = -z, \quad y = z$$ Jadi, solusi umum adalah: $$(x, y, z) = (-z, z, z)$$ Untuk $$z = t$$ (dengan $$t$$ sebagai sembarang bilangan real), kita dapat menulis solusi sebagai: $$(x, y, z) = (-t, t, t)$$ Ini menunjukkan bahwa solusi non-trivial juga ada selain solusi trivial. --- Ada pertanyaan atau butuh penjelasan lebih detail? Berikut adalah 5 pertanyaan yang relevan: 1. Bagaimana cara mengidentifikasi apakah SPL memiliki solusi unik atau tak hingga? 2. Apa perbedaan utama antara solusi trivial dan non-trivial dalam SPL homogen? 3. Bagaimana kita bisa menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan SPL homogen? 4. Apa kegunaan eliminasi Gauss dalam SPL? 5. Bagaimana SPL homogen berbeda dari SPL non-homogen? **Tip**: Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi trivial, tetapi solusi non-trivial hanya ada jika determinan dari koefisien matriks nol.