Tentukan solusi SPL homogen berikut
x + 2y - z = 0
x - 2y + 3z = 0
x + 4y - 3z = 0

Untuk menentukan solusi sistem persamaan linear (SPL) homogen:

\[
x + 2y - z = 0
\]
\[
x - 2y + 3z = 0
\]
\[
x + 4y - 3z = 0
\]

Kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau substitusi untuk mencari solusi. Karena ini adalah SPL homogen, selalu ada solusi trivial (yaitu \(x = 0\), \(y = 0\), dan \(z = 0\)). Namun, kita juga perlu mengecek apakah ada solusi non-trivial.

### Langkah 1: Tulis dalam bentuk matriks
Kita susun persamaan dalam bentuk matriks:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
1 & -2 & 3 \\
1 & 4 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

### Langkah 2: Operasi baris elementer (metode eliminasi Gauss)
Kita lakukan eliminasi Gauss untuk membawa matriks ke dalam bentuk eselon baris.

1. Baris 2 dikurangi baris 1: 
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 2  & -1 \\
   0 & -4 & 4 \\
   1 & 4  & -3
   \end{pmatrix}
   \]

2. Baris 3 dikurangi baris 1: 
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 2  & -1 \\
   0 & -4 & 4 \\
   0 & 2  & -2
   \end{pmatrix}
   \]

3. Bagi baris 2 dengan \(-4\): 
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 2  & -1 \\
   0 & 1  & -1 \\
   0 & 2  & -2
   \end{pmatrix}
   \]

4. Baris 3 dikurangi 2 kali baris 2: 
   \[
   \begin{pmatrix}
   1 & 2  & -1 \\
   0 & 1  & -1 \\
   0 & 0  & 0
   \end{pmatrix}
   \]

### Langkah 3: Substitusi mundur
Dari baris ketiga, kita lihat bahwa baris ketiga adalah persamaan identitas (0 = 0), yang menunjukkan bahwa sistem ini memiliki solusi tak hingga.

Baris kedua:
\[
y - z = 0 \implies y = z
\]

Baris pertama:
\[
x + 2y - z = 0 \implies x + 2z - z = 0 \implies x + z = 0 \implies x = -z
\]

### Solusi umum:
Solusi sistem adalah dalam bentuk parameter \(z\):
\[
x = -z, \quad y = z
\]

Jadi, solusi umum adalah:
\[
(x, y, z) = (-z, z, z)
\]

Untuk \(z = t\) (dengan \(t\) sebagai sembarang bilangan real), kita dapat menulis solusi sebagai:
\[
(x, y, z) = (-t, t, t)
\]

Ini menunjukkan bahwa solusi non-trivial juga ada selain solusi trivial.

---

Ada pertanyaan atau butuh penjelasan lebih detail?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang relevan:
1. Bagaimana cara mengidentifikasi apakah SPL memiliki solusi unik atau tak hingga?
2. Apa perbedaan utama antara solusi trivial dan non-trivial dalam SPL homogen?
3. Bagaimana kita bisa menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan SPL homogen?
4. Apa kegunaan eliminasi Gauss dalam SPL?
5. Bagaimana SPL homogen berbeda dari SPL non-homogen?

**Tip**: Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi trivial, tetapi solusi non-trivial hanya ada jika determinan dari koefisien matriks nol.

Learn how to solve the homogeneous system of linear equations: x + 2y - z = 0, x - 2y + 3z = 0, x + 4y - 3z = 0 using Gaussian elimination and back substitution. This step-by-step guide explains how to find both trivial and non-trivial solutions, covering concepts from linear algebra. Suitable for Grades 11-12 and early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation