Để giải các phương trình vi phân này, ta sẽ áp dụng "Gợi ý cách giải phương trình vi phân cấp cao" theo từng bước đã nêu.

Câu a) $x - e^{y''} + y'' = 0$

1. Đặt ẩn phụ: Đặt $z = y''$. Phương trình trở thành: $x - e^z + z = 0$
2. Giải phương trình ẩn $z$: Đây là một phương trình không giải tường minh được, nên phải dùng phương pháp giải gần đúng hoặc số để tìm nghiệm $z(x)$ tùy thuộc vào giá trị cụ thể của $x$.
3. Tích phân hai lần: Sau khi tìm được $z(x)$, ta thay lại $y'' = z(x)$ và tích phân hai lần theo $x$ để tìm nghiệm $y(x)$.

Kết luận: Để có nghiệm cụ thể, cần tiếp tục giải số cho $z(x)$ và thực hiện tích phân, vì nghiệm không thể biểu diễn tường minh được.

---

Câu b) $y'^2 + 2yy'' = 0$

1. Đặt ẩn phụ: Đặt $p = y'$, khi đó $y'' = \frac{dp}{dx} = p \frac{dp}{dy}$.
2. Thay vào phương trình: Phương trình trở thành: $p^2 + 2y p \frac{dp}{dy} = 0$
3. Giải phương trình ẩn $p$: Phương trình có thể tách biến: $\frac{p}{p^2} dp = -\frac{2}{y} dy$ Tích phân cả hai vế: $\int \frac{1}{p} dp = -\int \frac{2}{y} dy \Rightarrow \ln |p| = -2 \ln |y| + C \Rightarrow p = \frac{C}{y^2}$
4. Tích phân: Ta có $y' = p = \frac{C}{y^2}$. Tích phân để tìm $y(x)$.

Kết luận: Nghiệm tổng quát có thể biểu diễn dạng ẩn từ phương trình trên và cần tích phân để hoàn tất.

---

Câu c) $y'' = x - \frac{y'}{x}$

1. Phương trình thuần nhất: Giải phương trình thuần nhất $y'' + \frac{y'}{x} = 0$.
   • Đặt $y = x^m$, tìm nghiệm đặc trưng để có nghiệm dạng $y_h(x) = C \ln |x|$.
2. Nghiệm riêng: Sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng cho phương trình không thuần nhất.
3. Tổng hợp nghiệm: Nghiệm tổng quát sẽ là tổng của nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng.

Kết luận: Nghiệm tổng quát bao gồm nghiệm thuần nhất $y_h(x)$ và nghiệm riêng cho phương trình không thuần nhất.

---

Câu d) $(y'')^2 + x^2 = 1$

1. Giải ra $y''$: $y'' = \pm \sqrt{1 - x^2}$
2. Tích phân hai lần: Tích phân hai lần theo $x$ để tìm nghiệm $y(x)$: $y' = \pm \int \sqrt{1 - x^2} \, dx$ Đây là tích phân của hàm $\sqrt{1 - x^2}$, có thể giải bằng hàm lượng giác.

Kết luận: Nghiệm của phương trình bao gồm hai họ nghiệm do dấu $\pm$.

---

Câu e) $y'' = ay'(1 + y^2)$

1. Đặt ẩn phụ: Đặt $p = y'$, khi đó $y'' = p \frac{dp}{dy}$.
2. Thay vào phương trình: Phương trình trở thành: $p \frac{dp}{dy} = ap(1 + y^2)$ Rút gọn phương trình: $\frac{dp}{dy} = a(1 + y^2)$
3. Giải phương trình ẩn $p$: Tích phân để tìm $p(y)$.
4. Tích phân: Sau đó, thay $p(y) = y'$ và tích phân để tìm $y(x)$.

Kết luận: Nghiệm phụ thuộc vào hàm tích phân của $p(y)$, và cần tích phân để tìm dạng tường minh của $y(x)$.

---

Bạn có muốn mình giải chi tiết từng câu hoặc thực hiện tích phân cụ thể hơn cho từng phương trình không?

Câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để giải gần đúng phương trình không thể giải tường minh như câu a?
2. Phương pháp tách biến được áp dụng thế nào cho phương trình dạng $y' = f(y)$ không chứa $x$?
3. Tại sao phương pháp biến thiên hằng số hiệu quả trong các phương trình vi phân không thuần nhất?
4. Có thể có bao nhiêu nghiệm khi giải phương trình chứa dấu $\pm$, và điều này ảnh hưởng thế nào đến tính đơn trị của nghiệm?
5. Phương trình Euler có ứng dụng trong các bài toán nào khác ngoài vi phân?

Mẹo

Đối với phương trình không thể giải tường minh, hãy thử phương pháp giải số hoặc gần đúng để có giá trị cụ thể cho từng biến.