Bài 1: Giải các phương trình vi phân cấp cao sau thật, sao cho có kết quả chính xác: Bắt buộc phải thực hiện theo “Gợi ý cách giải phương trình vi phân cấp cao” dưới đây. Sau khi giải xong từng câu phương trình thì phải bắt buộc có kết luận. a) x - e^(y′′) + y′′ = 0 b) y′^2 + 2yy′′ = 0 c) y′′ = x - y′/x d) y′′^2 + x^2 = 1 e) y′′ = ay′(1 + y^2) Gợi ý cách giải phương trình vi phân cấp cao: a) x - e^(y′′) + y′′ = 0 • Dạng: Phương trình này thuộc dạng F(x, y'') = 0. • Phương pháp giải:

1. Đặt ẩn phụ: Đặt z = y'', phương trình trở thành: x - e^z + z = 0
2. Giải phương trình ẩn z: Do phương trình này không thể giải tường minh z theo x, ta có thể sử dụng các phương pháp giải gần đúng hoặc số để tìm nghiệm z(x).
3. Thay z = y'' và tích phân 2 lần: Sau khi tìm được z(x), ta thay trở lại y'' = z(x) và tích phân 2 lần theo x để tìm nghiệm y(x). b) y′^2 + 2yy′′ = 0 • Dạng: Phương trình này thuộc dạng F(y, y', y'') = 0 (không chứa biến độc lập x). • Phương pháp giải:
4. Đặt ẩn phụ: Đặt p = y', ta có y'' = dp/dx = (dp/dy)*(dy/dx) = p(dp/dy).
5. Thay vào phương trình: Phương trình trở thành: p^2 + 2yp(dp/dy) = 0
6. Giải phương trình ẩn p: Đây là phương trình tách biến theo p và y. Ta giải để tìm p(y).
7. Thay p = y' và tích phân: Thay y' = p(y) và tích phân theo x để tìm nghiệm y(x). c) y′′ = x - y′/x • Dạng: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. • Phương pháp giải:
8. Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y'' + y'/x = 0. Đây là phương trình Euler, có thể giải bằng cách đặt y = x^m.
9. Tìm nghiệm riêng: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số hoặc phương pháp hệ số bất định để tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
10. Tổng hợp nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng. d) y′′^2 + x^2 = 1 • Dạng: Phương trình này thuộc dạng F(x, y'') = 0. • Phương pháp giải:
11. Giải ra y'': Ta có y'' = ±sqrt(1-x^2).
12. Tích phân 2 lần: Tích phân 2 lần theo x để tìm nghiệm y(x). Do có dấu ±, ta sẽ có hai họ nghiệm. e) y′′ = ay′(1 + y^2) • Dạng: Phương trình vi phân cấp 2 không chứa biến độc lập x. • Phương pháp giải:
13. Đặt ẩn phụ: Đặt p = y', ta có y'' = dp/dx = p(dp/dy).
14. Thay vào phương trình: Phương trình trở thành p(dp/dy) = ap(1+y^2).
15. Giải phương trình ẩn p: Đây là phương trình tách biến theo p và y. Giải để tìm p(y).
16. Thay p = y' và tích phân: Thay p(y) = y' và tích phân theo x để tìm y(x).