Rozwiązanie zaczniemy od analizy problemu i zapisania danych w postaci równań. Mamy:

1. $x, y, z$ tworzą ciąg geometryczny, a suma ich wyrazów wynosi $104$: $x + y + z = 104.$

2. $x, y, z$ są pierwszym, drugim oraz piątym wyrazem ciągu arytmetycznego: y = x + r \quad \text{(drugi wyraz, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego)}, $z = x + 4r \quad \text{(piąty wyraz)}.$

3. $x, y, z$ tworzą ciąg geometryczny, czyli spełniają warunek: $y^2 = x \cdot z.$

---

Krok 1: Podstawienie $y$ i $z$ w równaniu sumy

Podstawiamy wyrażenia dla $y$ i $z$ do równania sumy: $x + y + z = 104,$ $x + (x + r) + (x + 4r) = 104.$ Sumujemy wyrazy: 3x + 5r = 104. \tag{1}

---

Krok 2: Warunek ciągu geometrycznego

Podstawiamy $y = x + r$ i $z = x + 4r$ w równaniu $y^2 = x \cdot z$: $(x + r)^2 = x \cdot (x + 4r).$ Rozwijamy oba wyrazy: $x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + 4xr.$ Uproszczamy: r^2 = 2xr. \tag{2} Dzielimy przez $r$ (zakładając $r \neq 0$): r = 2x. \tag{3}

---

Krok 3: Podstawienie $r = 2x$ do równania sumy

Z równania (1): $3x + 5r = 104.$ Podstawiamy $r = 2x$: $3x + 5(2x) = 104,$ $3x + 10x = 104,$ $13x = 104.$ Dzielimy przez $13$: x = 8. \tag{4}

---

Krok 4: Obliczenie $r, y, z$

Z (3): r = 2x = 2 \cdot 8 = 16. \tag{5} Obliczamy $y$ i $z$: y = x + r = 8 + 16 = 24, \tag{6} z = x + 4r = 8 + 4 \cdot 16 = 8 + 64 = 72. \tag{7}

---

Krok 5: Weryfikacja

1. Suma wyrazów: $x + y + z = 8 + 24 + 72 = 104 \quad \text{(zgadza się)}.$

2. Ciąg geometryczny: $y^2 = 24^2 = 576, \quad x \cdot z = 8 \cdot 72 = 576 \quad \text{(zgadza się)}.$

---

Odpowiedź:

$x = 8, \quad y = 24, \quad z = 72.$

Czy potrzebujesz szczegółowych wyjaśnień któregoś kroku?

---

Rozwijające pytania:

1. Jakie są własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego?
2. W jaki sposób suma wyrazów wpływa na wartości $x, y, z$?
3. Jak wykorzystać warunki geometryczne i arytmetyczne w jednym zadaniu?
4. Co się stanie, jeśli zmienimy różnicę $r$ w ciągu arytmetycznym?
5. Jakie są inne metody rozwiązania tego problemu?

Wskazówka:

Jeśli wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to ich proporcje zawsze wynoszą $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$. Używaj tego, aby upro