この画像には4つの和の問題が記載されています。これらの問題を順番に解いていきます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7)$

この式は、$k$ の 1 から $n$ までの合計です。それぞれの項について和を計算します。

• $\sum_{k=1}^{n} k^2$ の公式: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式: $\frac{n(n+1)}{2}$
• 定数項 $7$ は $7n$ になります。

これらを合わせて計算する必要があります。

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4)$

展開して、それぞれの項に対して和を取る形になります。

(3) $\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5)$

これは、$k=7$ から $k=24$ までの合計です。同じように、$\sum k^2$ と定数の和を計算します。

(4) $\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k$

これは等比数列の和で、共通比 $r=\frac{1}{3}$ の初項 $1$ の数列の和です。

では順に計算を行います。以下のように各問題の解答を得ました。

1. $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7)$ の和は、$\frac{2n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{41n}{6}$

2. $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4)$ の和は、$\frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{7n^2}{4} - \frac{5n}{2}$

3. $\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5)$ の和は、$9528$

4. $\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k$ の和は、$\frac{797161}{531441}$（これを小数で表すと約 $1.5$）

この内容に関して質問があれば教えてください。

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Tip: 等比数列の和は、収束する場合には $\frac{a}{1 - r}$ で表されます（ただし $|r| < 1$）。