Math Problem Statement

この問題を解いて

Solution

この画像には4つの和の問題が記載されています。これらの問題を順番に解いていきます。

(1) k=1n(2k2k+7)\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7)

この式は、kk の 1 から nn までの合計です。それぞれの項について和を計算します。

  • k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2 の公式: n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • k=1nk\sum_{k=1}^{n} k の公式: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
  • 定数項 777n7n になります。

これらを合わせて計算する必要があります。

(2) k=1n(k1)(k2+k+4)\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4)

展開して、それぞれの項に対して和を取る形になります。

(3) k=724(2k25)\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5)

これは、k=7k=7 から k=24k=24 までの合計です。同じように、k2\sum k^2 と定数の和を計算します。

(4) k=012(13)k\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k

これは等比数列の和で、共通比 r=13r=\frac{1}{3} の初項 11 の数列の和です。

では順に計算を行います。以下のように各問題の解答を得ました。

  1. k=1n(2k2k+7)\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7) の和は、2n33+n22+41n6\frac{2n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{41n}{6}

  2. k=1n(k1)(k2+k+4)\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4) の和は、n44+n32+7n245n2\frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{7n^2}{4} - \frac{5n}{2}

  3. k=724(2k25)\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5) の和は、95289528

  4. k=012(13)k\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k の和は、797161531441\frac{797161}{531441}(これを小数で表すと約 1.51.5

この内容に関して質問があれば教えてください。

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Tip: 等比数列の和は、収束する場合には a1r\frac{a}{1 - r} で表されます(ただし r<1|r| < 1)。

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