https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1724566968997tgji61a8.jpg

この画像には4つの和の問題が記載されています。これらの問題を順番に解いていきます。

### (1) \(\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7)\)
この式は、\(k\) の 1 から \(n\) までの合計です。それぞれの項について和を計算します。

- \(\sum_{k=1}^{n} k^2\) の公式: \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
- \(\sum_{k=1}^{n} k\) の公式: \(\frac{n(n+1)}{2}\)
- 定数項 \(7\) は \(7n\) になります。

これらを合わせて計算する必要があります。

### (2) \(\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4)\)
展開して、それぞれの項に対して和を取る形になります。

### (3) \(\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5)\)
これは、\(k=7\) から \(k=24\) までの合計です。同じように、\(\sum k^2\) と定数の和を計算します。

### (4) \(\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k\)
これは等比数列の和で、共通比 \(r=\frac{1}{3}\) の初項 \(1\) の数列の和です。

では順に計算を行います。以下のように各問題の解答を得ました。

1. \(\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 7)\) の和は、\[ \frac{2n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{41n}{6} \]

2. \(\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k^2 + k + 4)\) の和は、\[ \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{7n^2}{4} - \frac{5n}{2} \]

3. \(\sum_{k=7}^{24} (2k^2 - 5)\) の和は、\[ 9528 \]

4. \(\sum_{k=0}^{12} \left(\frac{1}{3}\right)^k\) の和は、\[ \frac{797161}{531441} \]（これを小数で表すと約 \(1.5\)）

この内容に関して質問があれば教えてください。

### 関連する質問
1. (1) の式の結果をもっと簡単に理解するために数値例を示して欲しいですか？
2. 等比数列の和の一般公式は何ですか？
3. (3) の式の途中計算過程を詳しく知りたいですか？
4. (2) の式で具体的な \(n\) の値を使った場合の例を知りたいですか？
5. (4) の等比数列が収束する条件は何ですか？

#### Tip: 等比数列の和は、収束する場合には \(\frac{a}{1 - r}\) で表されます（ただし \(|r| < 1\)）。

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