Math Problem Statement

Soal sulit dan jawaban tentang deret geometri

Solution

Berikut adalah beberapa contoh soal sulit tentang deret geometri beserta jawaban dan penjelasannya:

Soal 1: Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Diberikan deret geometri tak hingga dengan suku pertama a=5a = 5 dan rasio r=23r = \frac{2}{3}. Hitunglah jumlah deret tersebut.

Jawaban:

Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah:

S=a1rS = \frac{a}{1 - r}

Dengan a=5a = 5 dan r=23r = \frac{2}{3}, maka:

S=5123=513=5×3=15S = \frac{5}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{5}{\frac{1}{3}} = 5 \times 3 = 15

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 15.


Soal 2: Suku ke-n dari Deret Geometri

Diberikan deret geometri dengan suku pertama a=3a = 3 dan rasio r=4r = 4. Temukan suku ke-5 dari deret ini.

Jawaban:

Rumus untuk suku ke-n dari deret geometri adalah:

un=arn1u_n = a \cdot r^{n-1}

Untuk suku ke-5:

u5=3451=344=3256=768u_5 = 3 \cdot 4^{5-1} = 3 \cdot 4^4 = 3 \cdot 256 = 768

Jadi, suku ke-5 dari deret ini adalah 768.


Soal 3: Menentukan Rasio dari Deret Geometri

Diberikan sebuah deret geometri dengan tiga suku berturut-turut yaitu 81, 27, dan 9. Tentukan rasio rr dari deret ini.

Jawaban:

Rasio rr dari deret geometri adalah perbandingan antara dua suku berturut-turut. Dalam hal ini:

r=2781=13r = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}

Jadi, rasio rr dari deret ini adalah 13\frac{1}{3}.


Soal 4: Menentukan Suku Pertama dan Rasio

Diketahui jumlah dari tiga suku pertama sebuah deret geometri adalah 42 dan suku ketiga adalah 16. Tentukan suku pertama aa dan rasio rr.

Jawaban:

Misalkan suku pertama adalah aa dan rasio adalah rr. Maka tiga suku pertama deret tersebut adalah a,ar,ar2a, ar, ar^2.

Jumlah ketiga suku tersebut adalah:

a+ar+ar2=42a + ar + ar^2 = 42

Diketahui suku ketiga ar2=16ar^2 = 16, maka:

ar2=16    a=16r2ar^2 = 16 \implies a = \frac{16}{r^2}

Substitusikan nilai aa ke persamaan jumlah:

16r2+16r+16=42\frac{16}{r^2} + \frac{16}{r} + 16 = 42

Kalikan semuanya dengan r2r^2:

16+16r+16r2=42r216 + 16r + 16r^2 = 42r^2

Susun kembali menjadi:

42r216r216r16=0    26r216r16=042r^2 - 16r^2 - 16r - 16 = 0 \implies 26r^2 - 16r - 16 = 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut menggunakan rumus kuadrat:

r=(16)±(16)2426(16)226=16±1024+166452r = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 26 \cdot (-16)}}{2 \cdot 26} = \frac{16 \pm \sqrt{1024 + 1664}}{52}

r=16±268852r = \frac{16 \pm \sqrt{2688}}{52}

Hitung nilai rr, kemudian substitusikan untuk menemukan nilai aa.


Soal 5: Menentukan Jumlah Suku Deret Geometri

Berapa jumlah 7 suku pertama dari deret geometri yang memiliki suku pertama 2 dan rasio 3?

Jawaban:

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah:

Sn=arn1r1S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}

Untuk 7 suku pertama:

S7=237131=2218712=21093=2186S_7 = 2 \frac{3^7 - 1}{3 - 1} = 2 \frac{2187 - 1}{2} = 2 \cdot 1093 = 2186

Jadi, jumlah 7 suku pertama dari deret ini adalah 2186.


5 Pertanyaan Tambahan yang Relevan:

  1. Bagaimana cara menentukan suku ke-n jika diketahui jumlah dari n suku pertama dari deret geometri?
  2. Jika rasio deret geometri lebih besar dari 1, apa yang terjadi pada jumlah deret tersebut ketika n mendekati tak hingga?
  3. Bagaimana cara menentukan jumlah suku-suku genap dari deret geometri tertentu?
  4. Apakah ada aplikasi nyata dari deret geometri dalam bidang ekonomi atau fisika? Sebutkan contohnya.
  5. Bagaimana mengatasi permasalahan jika rasio dari deret geometri adalah bilangan negatif?

Tip:

Ingat bahwa deret geometri memiliki sifat yang khas tergantung pada nilai rasionya: jika |r| < 1, deret tak hingga akan konvergen; jika |r| ≥ 1, deret tersebut divergen.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometric Series
Geometric Progression

Formulas

Sum of infinite geometric series: S = a / (1 - r)
Nth term of geometric progression: u_n = a * r^(n-1)

Theorems

-

Suitable Grade Level

High School