Bài toán yêu cầu tìm số lượng điểm $n$ sao cho số lượng các đoạn thẳng nối 2 điểm trong $n$ điểm là 465, với điều kiện là không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Phân tích:

Số đoạn thẳng có thể vẽ từ $n$ điểm là số cách chọn 2 điểm từ $n$ điểm, hay chính là tổ hợp chập 2 của $n$, ký hiệu là $\binom{n}{2}$. Công thức tính $\binom{n}{2}$ là:

$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

Theo đề bài, số đoạn thẳng này bằng 465, tức là:

$\frac{n(n-1)}{2} = 465$

Giải phương trình này:

$n(n-1) = 930$

Giải phương trình bậc 2:

$n^2 - n - 930 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 $ax^2 + bx + c = 0$:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Với $a = 1$, $b = -1$, và $c = -930$, ta có:

$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-930)}}{2(1)}$ $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3720}}{2}$ $n = \frac{1 \pm \sqrt{3721}}{2}$ $n = \frac{1 \pm 61}{2}$

Vậy $n$ có hai nghiệm:

$n = \frac{1 + 61}{2} = 31 \quad \text{hoặc} \quad n = \frac{1 - 61}{2} = -30$

Vì số điểm không thể là số âm, nên $n = 31$.

Kết luận:

Số điểm $n$ là $\boxed{31}$.

Nếu bạn có câu hỏi gì thêm về cách giải hoặc chi tiết nào chưa rõ, hãy cho mình biết nhé!

---

Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng:

1. Tính số lượng đoạn thẳng có thể vẽ từ 32 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
2. Nếu có 3 điểm thẳng hàng, số đoạn thẳng vẽ được sẽ thay đổi như thế nào?
3. Từ số lượng đoạn thẳng, làm sao chúng ta có thể tính được số điểm mà không cần biết trước số điểm?
4. Nếu bài toán cho $m$ đoạn thẳng và yêu cầu tìm $n$, ta sẽ giải bài toán như thế nào?
5. Lý thuyết tổ hợp có ứng dụng gì trong các bài toán hình học như thế này?

Tip: Trong các bài toán về tổ hợp, đặc biệt khi liên quan đến các đoạn thẳng hoặc các phần tử kết nối, việc sử dụng công thức tổ hợp là chìa khóa quan trọng để rút ngắn quá trình tính toán.