Diketahui bilangan x dan y memenuhi persamaan

5 ^ x + 25 ^ x = 650 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y = 5 ^ (x + 11) Maka nilai dari x² + y² adalah

Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah.

### Langkah 1: Menguraikan Persamaan Pertama
Diketahui bahwa:
\[
5^x + 25^x = 650
\]
Kita tahu bahwa \(25^x\) dapat ditulis sebagai \( (5^2)^x = 5^{2x} \). Jadi, persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:
\[
5^x + 5^{2x} = 650
\]

### Langkah 2: Misalkan Substitusi
Misalkan \( a = 5^x \), maka persamaan menjadi:
\[
a + a^2 = 650
\]
Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk:
\[
a^2 + a - 650 = 0
\]

### Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita gunakan rumus kuadrat:
\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Dimana \( a = 1 \), \( b = 1 \), dan \( c = -650 \). Maka:
\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2600}}{2}
\]
\[
a = \frac{-1 \pm \sqrt{2601}}{2}
\]
\[
a = \frac{-1 \pm 51}{2}
\]
Maka terdapat dua nilai \( a \):
1. \( a = \frac{50}{2} = 25 \)
2. \( a = \frac{-52}{2} = -26 \) (ini tidak mungkin karena \( a \) positif)

Jadi, \( a = 25 \), yang berarti \( 5^x = 25 \). Karena \( 25 = 5^2 \), maka \( x = 2 \).

### Langkah 4: Menguraikan Persamaan Kedua
Persamaan kedua diberikan sebagai:
\[
25^y + 25^y + 25^y + 25^y + 25^y = 5^{x+11}
\]
Ini dapat ditulis sebagai:
\[
5 \times 25^y = 5 \times 5^{2y} = 5^{2y + 1}
\]
Di sisi kanan, \( 5^{x+11} = 5^{2+11} = 5^{13} \).

Maka persamaan menjadi:
\[
5^{2y+1} = 5^{13}
\]
Artinya, \( 2y + 1 = 13 \), sehingga \( 2y = 12 \) dan \( y = 6 \).

### Langkah 5: Menghitung Nilai \( x^2 + y^2 \)
Sekarang, kita dapat menghitung \( x^2 + y^2 \) sebagai:
\[
x^2 + y^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40
\]

### Jawaban
Jadi, nilai dari \( x^2 + y^2 \) adalah \( \boxed{40} \).

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat \( a^2 + a - 650 = 0 \)?
2. Apa yang terjadi jika nilai negatif dari akar kuadrat digunakan dalam solusi?
3. Bagaimana jika persamaan kedua menggunakan basis yang berbeda?
4. Bisakah kita menggunakan metode logaritma untuk menemukan nilai \( x \) dan \( y \)?
5. Bagaimana jika persamaan tidak memenuhi syarat sebagai persamaan kuadrat?

**Tip**: Selalu coba substitusi dan penyederhanaan awal untuk mengurangi kompleksitas sebelum melibatkan metode yang lebih rumit.

Diketahui bilangan x dan y memenuhi persamaan 5 ^ x + 25 ^ x = 650 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y + 25 ^ y = 5 ^ (x + 11) Maka nilai dari x² + y² adalah

Explore how to solve the system of equations involving exponential and quadratic relationships with a detailed step-by-step solution. This problem covers key algebraic concepts, including exponential equations and the quadratic formula, making it suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation