Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah.

Langkah 1: Menguraikan Persamaan Pertama

Diketahui bahwa: $5^x + 25^x = 650$ Kita tahu bahwa $25^x$ dapat ditulis sebagai $(5^2)^x = 5^{2x}$. Jadi, persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai: $5^x + 5^{2x} = 650$

Langkah 2: Misalkan Substitusi

Misalkan $a = 5^x$, maka persamaan menjadi: $a + a^2 = 650$ Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk: $a^2 + a - 650 = 0$

Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita gunakan rumus kuadrat: $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Dimana $a = 1$, $b = 1$, dan $c = -650$. Maka: $a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2600}}{2}$ $a = \frac{-1 \pm \sqrt{2601}}{2}$ $a = \frac{-1 \pm 51}{2}$ Maka terdapat dua nilai $a$:

1. $a = \frac{50}{2} = 25$
2. $a = \frac{-52}{2} = -26$ (ini tidak mungkin karena $a$ positif)

Jadi, $a = 25$, yang berarti $5^x = 25$. Karena $25 = 5^2$, maka $x = 2$.

Langkah 4: Menguraikan Persamaan Kedua

Persamaan kedua diberikan sebagai: $25^y + 25^y + 25^y + 25^y + 25^y = 5^{x+11}$ Ini dapat ditulis sebagai: $5 \times 25^y = 5 \times 5^{2y} = 5^{2y + 1}$ Di sisi kanan, $5^{x+11} = 5^{2+11} = 5^{13}$.

Maka persamaan menjadi: $5^{2y+1} = 5^{13}$ Artinya, $2y + 1 = 13$, sehingga $2y = 12$ dan $y = 6$.

Langkah 5: Menghitung Nilai $x^2 + y^2$

Sekarang, kita dapat menghitung $x^2 + y^2$ sebagai: $x^2 + y^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$

Jawaban

Jadi, nilai dari $x^2 + y^2$ adalah $\boxed{40}$.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $a^2 + a - 650 = 0$?
2. Apa yang terjadi jika nilai negatif dari akar kuadrat digunakan dalam solusi?
3. Bagaimana jika persamaan kedua menggunakan basis yang berbeda?
4. Bisakah kita menggunakan metode logaritma untuk menemukan nilai $x$ dan $y$?
5. Bagaimana jika persamaan tidak memenuhi syarat sebagai persamaan kuadrat?

Tip: Selalu coba substitusi dan penyederhanaan awal untuk mengurangi kompleksitas sebelum melibatkan metode yang lebih rumit.