Math Problem Statement

a. Resolver: (5 \cdot e^{4 y}=46)

b. Simplificar: (3 \log _{2} x-4 \log _{2} 8)

c. Simplificar: (\log _{2} \frac{14 x^{2}}{10})

d. Resolver: (15 \cdot 3^{t}=225)

e. Resolver: (5^{x}-20=220)

Solution

Let's solve each part step by step:

a. Resolver: 5e4y=465 \cdot e^{4y} = 46

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 5:

e4y=465e^{4y} = \frac{46}{5}

Tomamos el logaritmo natural (ln) en ambos lados:

ln(e4y)=ln(465)\ln(e^{4y}) = \ln\left(\frac{46}{5}\right)

Simplificando el lado izquierdo usando la propiedad del logaritmo:

4y=ln(465)4y = \ln\left(\frac{46}{5}\right)

Despejamos yy:

y=14ln(465)y = \frac{1}{4} \ln\left(\frac{46}{5}\right)

b. Simplificar: 3log2x4log283 \log_{2} x - 4 \log_{2} 8

Utilizamos la propiedad del logaritmo: alogbc=logbcaa \log_b c = \log_b c^a, y recordamos que log28=3\log_{2} 8 = 3 porque 8=238 = 2^3:

3log2x4log28=log2x3433 \log_{2} x - 4 \log_{2} 8 = \log_{2} x^3 - 4 \cdot 3

Simplificamos:

log2x312\log_{2} x^3 - 12

c. Simplificar: log214x210\log_{2} \frac{14x^2}{10}

Utilizamos la propiedad del logaritmo: logbac=logbalogbc\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c:

log214x210=log214x2log210\log_{2} \frac{14x^2}{10} = \log_{2} 14x^2 - \log_{2} 10

Podemos también aplicar la propiedad del logaritmo sobre productos y potencias:

log214x2=log214+log2x2=log214+2log2x\log_{2} 14x^2 = \log_{2} 14 + \log_{2} x^2 = \log_{2} 14 + 2\log_{2} x

Entonces:

log214x210=log214+2log2xlog210\log_{2} \frac{14x^2}{10} = \log_{2} 14 + 2\log_{2} x - \log_{2} 10

d. Resolver: 153t=22515 \cdot 3^{t} = 225

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 15:

3t=22515=153^{t} = \frac{225}{15} = 15

Observamos que 15=325015 = 3^2 \cdot 5^0. Como no es potencia directa de 3, tomamos logaritmo base 3 en ambos lados:

t=log315t = \log_3 15

Este valor puede calcularse usando logaritmos naturales o base 10:

t=log15log3t = \frac{\log 15}{\log 3}

e. Resolver: 5x20=2205^{x} - 20 = 220

Sumamos 20 en ambos lados de la ecuación:

5x=2405^{x} = 240

Tomamos el logaritmo base 5 en ambos lados:

x=log5240x = \log_5 240

Este valor puede calcularse usando logaritmos naturales o base 10:

x=log240log5x = \frac{\log 240}{\log 5}


¿Te gustaría ver detalles adicionales sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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  4. ¿Cuáles son los métodos numéricos para resolver ecuaciones exponenciales?
  5. ¿Cómo se interpreta geométricamente la ecuación y=e4yy = e^{4y}?

Tip: En general, para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, es clave dominar las propiedades de los logaritmos y las reglas de los exponentes.

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