a. Resolver: \(5 \cdot e^{4 y}=46\)

b. Simplificar: \(3 \log _{2} x-4 \log _{2} 8\)

c. Simplificar: \(\log _{2} \frac{14 x^{2}}{10}\)

d. Resolver: \(15 \cdot 3^{t}=225\)

e. Resolver: \(5^{x}-20=220\)

Let's solve each part step by step:

### a. Resolver: \(5 \cdot e^{4y} = 46\)

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 5:

\[
e^{4y} = \frac{46}{5}
\]

Tomamos el logaritmo natural (ln) en ambos lados:

\[
\ln(e^{4y}) = \ln\left(\frac{46}{5}\right)
\]

Simplificando el lado izquierdo usando la propiedad del logaritmo:

\[
4y = \ln\left(\frac{46}{5}\right)
\]

Despejamos \(y\):

\[
y = \frac{1}{4} \ln\left(\frac{46}{5}\right)
\]

### b. Simplificar: \(3 \log_{2} x - 4 \log_{2} 8\)

Utilizamos la propiedad del logaritmo: \(a \log_b c = \log_b c^a\), y recordamos que \(\log_{2} 8 = 3\) porque \(8 = 2^3\):

\[
3 \log_{2} x - 4 \log_{2} 8 = \log_{2} x^3 - 4 \cdot 3
\]

Simplificamos:

\[
\log_{2} x^3 - 12
\]

### c. Simplificar: \(\log_{2} \frac{14x^2}{10}\)

Utilizamos la propiedad del logaritmo: \(\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c\):

\[
\log_{2} \frac{14x^2}{10} = \log_{2} 14x^2 - \log_{2} 10
\]

Podemos también aplicar la propiedad del logaritmo sobre productos y potencias:

\[
\log_{2} 14x^2 = \log_{2} 14 + \log_{2} x^2 = \log_{2} 14 + 2\log_{2} x
\]

Entonces:

\[
\log_{2} \frac{14x^2}{10} = \log_{2} 14 + 2\log_{2} x - \log_{2} 10
\]

### d. Resolver: \(15 \cdot 3^{t} = 225\)

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 15:

\[
3^{t} = \frac{225}{15} = 15
\]

Observamos que \(15 = 3^2 \cdot 5^0\). Como no es potencia directa de 3, tomamos logaritmo base 3 en ambos lados:

\[
t = \log_3 15
\]

Este valor puede calcularse usando logaritmos naturales o base 10:

\[
t = \frac{\log 15}{\log 3}
\]

### e. Resolver: \(5^{x} - 20 = 220\)

Sumamos 20 en ambos lados de la ecuación:

\[
5^{x} = 240
\]

Tomamos el logaritmo base 5 en ambos lados:

\[
x = \log_5 240
\]

Este valor puede calcularse usando logaritmos naturales o base 10:

\[
x = \frac{\log 240}{\log 5}
\]

---

¿Te gustaría ver detalles adicionales sobre algún paso o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el logaritmo natural de un número usando una calculadora?
2. ¿Qué otras propiedades de logaritmos podrían ser útiles para simplificar expresiones?
3. ¿Cómo convertir un logaritmo de una base diferente a una base específica?
4. ¿Cuáles son los métodos numéricos para resolver ecuaciones exponenciales?
5. ¿Cómo se interpreta geométricamente la ecuación \(y = e^{4y}\)?

**Tip:** En general, para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, es clave dominar las propiedades de los logaritmos y las reglas de los exponentes.

Explore how to solve exponential equations and simplify logarithms step-by-step. This detailed guide covers properties of logarithms, solving exponential equations, and logarithmic simplification methods. Suitable for advanced high school students.

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