Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

Уравнение: $7^{2\log_7(4x-14)} = 2^{\log_{\sqrt{2}}(3x+21)}$

Шаг 1: Упростим выражение с логарифмом по основанию 7

Используем свойство логарифмов: $a^{\log_a(b)} = b$. В нашем случае это будет: $7^{2\log_7(4x - 14)} = (4x - 14)^2$ Так как основание логарифма и основание экспоненты одинаковые, можем избавиться от логарифма и просто возвести выражение $4x - 14$ в квадрат.

Шаг 2: Упростим выражение с логарифмом по основанию $\sqrt{2}$

Для логарифма с основанием $\sqrt{2}$ применим формулу преобразования основания логарифма: $\log_{\sqrt{2}}(y) = \frac{\log_2(y)}{\log_2(\sqrt{2})}$ Так как $\log_2(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$, выражение преобразуется в: $2^{\log_{\sqrt{2}}(3x + 21)} = 2^{2\log_2(3x + 21)} = (3x + 21)^2$

Шаг 3: Подставим упрощённые выражения в исходное уравнение

Теперь у нас получается: $(4x - 14)^2 = (3x + 21)^2$

Шаг 4: Извлечём корни

Так как квадраты равны, то: $4x - 14 = 3x + 21 \quad \text{или} \quad 4x - 14 = -(3x + 21)$

Рассмотрим оба случая.

Первый случай:

$4x - 14 = 3x + 21$ $4x - 3x = 21 + 14$ $x = 35$

Второй случай:

$4x - 14 = -3x - 21$ $4x + 3x = -21 + 14$ $7x = -7$ $x = -1$

Шаг 5: Проверим решения

Подставим $x = 35$ и $x = -1$ в исходное уравнение, чтобы проверить их корректность.

Для $x = 35$: $7^{2\log_7(4 \cdot 35 - 14)} = 7^{2\log_7(140 - 14)} = 7^{2\log_7(126)}$ $= 126^2$ $2^{\log_{\sqrt{2}}(3 \cdot 35 + 21)} = 2^{\log_{\sqrt{2}}(105 + 21)} = 2^{\log_{\sqrt{2}}(126)}$ $= 126^2$ Таким образом, $x = 35$ является решением.

Для $x = -1$: $7^{2\log_7(4 \cdot (-1) - 14)} = 7^{2\log_7(-4 - 14)} = 7^{2\log_7(-18)}$ Логарифм от отрицательного числа не существует в вещественных числах, значит, $x = -1$ не является решением.

Ответ:

Единственное решение — $x = 35$.

Если нужно больше деталей или есть вопросы, пожалуйста, уточните! Также вот несколько вопросов для расширения:

1. Почему логарифм от отрицательного числа не существует в вещественных числах?
2. Как проверить корректность решения в уравнениях с логарифмами?
3. Что произойдёт, если мы изменим основание логарифма на другое число?
4. В чём разница между логарифмами с целым основанием и дробным?
5. Как решить уравнения с логарифмами более сложными видами (например, с разными основаниями)?

Совет: Важно всегда проверять решения в исходных уравнениях, особенно если предполагается, что они могут привести к отрицательным значениям в аргументах логарифмов.