Kita diberikan tiga buah bilangan real $A$, $B$, dan $C$ yang memenuhi persamaan:

$A + \frac{1}{B} = 7$ $B + \frac{1}{C} = 8$ $C + \frac{1}{A} = 10$

Tujuan kita adalah mencari nilai dari $ABC + \frac{1}{ABC}$.

Langkah 1: Isolasi variabel $A$, $B$, dan $C$

Kita bisa menyelesaikan masing-masing persamaan untuk menemukan bentuk $A$, $B$, dan $C$ sebagai fungsi dari variabel lain:

1. Dari $A + \frac{1}{B} = 7$, kita dapatkan: $A = 7 - \frac{1}{B}$

2. Dari $B + \frac{1}{C} = 8$, kita dapatkan: $B = 8 - \frac{1}{C}$

3. Dari $C + \frac{1}{A} = 10$, kita dapatkan: $C = 10 - \frac{1}{A}$

Langkah 2: Substitusi dan Eliminasi

Sekarang, kita substitusi $A = 7 - \frac{1}{B}$ ke dalam persamaan untuk $C$: $C = 10 - \frac{1}{A} = 10 - \frac{1}{7 - \frac{1}{B}}$ Sederhanakan: $C = 10 - \frac{B}{7B - 1}$

Lalu substitusi $B = 8 - \frac{1}{C}$ ke dalam persamaan ini, kita substitusi $C = 10 - \frac{B}{7B - 1}$ ke persamaan ini: $B = 8 - \frac{1}{10 - \frac{B}{7B - 1}}$

Ini akan menjadi persamaan yang cukup rumit. Mari kita coba cara lain.

Langkah 3: Multiplikasi Semua Persamaan

Cara yang lebih sederhana adalah dengan mengalikan ketiga persamaan: $(A + \frac{1}{B})(B + \frac{1}{C})(C + \frac{1}{A}) = 7 \times 8 \times 10$

Expansi kiri: $(AB + A \times \frac{1}{C} + B \times \frac{1}{A} + \frac{1}{BC}) = 560$ $ABC + A + B + C + \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{ABC} = 560$

Namun, kita tahu dari tiga persamaan pertama: $A + \frac{1}{B} = 7$ $B + \frac{1}{C} = 8$ $C + \frac{1}{A} = 10$ Sehingga penjumlahan: $A + B + C + \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 25$

Sehingga kita mendapatkan: $ABC + \frac{1}{ABC} + 25 = 560$ $ABC + \frac{1}{ABC} = 560 - 25$ $ABC + \frac{1}{ABC} = 535$

Jawaban Akhir

Nilai dari $ABC + \frac{1}{ABC}$ adalah 535.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memeriksa apakah hasil $ABC + \frac{1}{ABC}$ benar?
2. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan ini?
3. Bagaimana memecahkan persamaan yang lebih kompleks dengan variabel yang tidak bisa diisolasi dengan mudah?
4. Bagaimana jika nilai $A$, $B$, dan $C$ tidak memenuhi syarat?
5. Bagaimana penggunaan konsep ini dalam konteks soal yang berbeda?

Tip: Saat memecahkan sistem persamaan, cobalah untuk mencari cara yang lebih sederhana, seperti mengalikan atau menjumlahkan persamaan, untuk mendapatkan solusi lebih cepat.