https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1727361575519bgpufoyr.jpg

selesaikan soal ini secara detail dan rinci

Soal ini adalah persamaan diferensial:

\[
y \cos(x) - \cos(x) + y' = 0
\]

Untuk menyelesaikannya, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

### Langkah 1: Bentuk persamaan
Kita bisa menulis ulang persamaan sebagai:

\[
y' = \cos(x) - y \cos(x)
\]

Ini adalah persamaan diferensial biasa (ODE) dengan koefisien yang tergantung pada variabel \(x\).

### Langkah 2: Bentuk yang lebih sederhana
Persamaan tersebut dapat difaktorkan lebih lanjut:

\[
y' = \cos(x)(1 - y)
\]

Ini adalah persamaan diferensial yang dapat kita pisahkan variabelnya.

### Langkah 3: Pisahkan variabel
Pisahkan \(y\) dan \(x\) ke sisi yang berbeda:

\[
\frac{dy}{1 - y} = \cos(x) dx
\]

### Langkah 4: Integrasi kedua sisi
Sekarang kita integrasikan kedua sisi:

\[
\int \frac{1}{1 - y} dy = \int \cos(x) dx
\]

Hasil integrasi:

\[
-\ln|1 - y| = \sin(x) + C
\]

Di mana \(C\) adalah konstanta integrasi.

### Langkah 5: Sederhanakan solusi
Kita isolasi \(y\) untuk mendapatkan solusi eksplisit. Pertama, kalikan kedua sisi dengan \(-1\):

\[
\ln|1 - y| = -\sin(x) - C
\]

Kemudian eksponensialkan kedua sisi untuk menghilangkan logaritma:

\[
|1 - y| = e^{-(\sin(x) + C)} = e^{-C}e^{-\sin(x)}
\]

Misalkan \(A = e^{-C}\), jadi:

\[
|1 - y| = A e^{-\sin(x)}
\]

Karena kita hanya tertarik pada nilai \(y\), kita dapat menulis:

\[
1 - y = \pm A e^{-\sin(x)}
\]

### Langkah 6: Solusi akhir
Isolasi \(y\):

\[
y = 1 \mp A e^{-\sin(x)}
\]

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah:

\[
y(x) = 1 \mp A e^{-\sin(x)}
\]

### Kesimpulan:
Solusi untuk persamaan diferensial \(y \cos(x) - \cos(x) + y' = 0\) adalah:

\[
y(x) = 1 \mp A e^{-\sin(x)}
\]

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan terkait langkah-langkah di atas?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan konstanta \(A\) dalam solusi?
2. Apa perbedaan antara solusi umum dan solusi khusus dalam persamaan diferensial?
3. Mengapa kita perlu memisahkan variabel dalam langkah 3?
4. Apa peran fungsi eksponensial dalam solusi persamaan diferensial ini?
5. Bagaimana kita bisa memeriksa apakah solusi sudah benar?

**Tip**: Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat membantu untuk memeriksa kondisi awal atau kondisi batas agar dapat menentukan nilai konstanta integrasi.

This solution provides a detailed step-by-step method for solving the differential equation y cos(x) - cos(x) + y' = 0 using separation of variables and integration techniques. The problem covers key concepts such as differential equations, integration, and separation of variables.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation