Soal ini adalah persamaan diferensial:

$y \cos(x) - \cos(x) + y' = 0$

Untuk menyelesaikannya, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Bentuk persamaan

Kita bisa menulis ulang persamaan sebagai:

$y' = \cos(x) - y \cos(x)$

Ini adalah persamaan diferensial biasa (ODE) dengan koefisien yang tergantung pada variabel $x$.

Langkah 2: Bentuk yang lebih sederhana

Persamaan tersebut dapat difaktorkan lebih lanjut:

$y' = \cos(x)(1 - y)$

Ini adalah persamaan diferensial yang dapat kita pisahkan variabelnya.

Langkah 3: Pisahkan variabel

Pisahkan $y$ dan $x$ ke sisi yang berbeda:

$\frac{dy}{1 - y} = \cos(x) dx$

Langkah 4: Integrasi kedua sisi

Sekarang kita integrasikan kedua sisi:

$\int \frac{1}{1 - y} dy = \int \cos(x) dx$

Hasil integrasi:

$-\ln|1 - y| = \sin(x) + C$

Di mana $C$ adalah konstanta integrasi.

Langkah 5: Sederhanakan solusi

Kita isolasi $y$ untuk mendapatkan solusi eksplisit. Pertama, kalikan kedua sisi dengan $-1$:

$\ln|1 - y| = -\sin(x) - C$

Kemudian eksponensialkan kedua sisi untuk menghilangkan logaritma:

$|1 - y| = e^{-(\sin(x) + C)} = e^{-C}e^{-\sin(x)}$

Misalkan $A = e^{-C}$, jadi:

$|1 - y| = A e^{-\sin(x)}$

Karena kita hanya tertarik pada nilai $y$, kita dapat menulis:

$1 - y = \pm A e^{-\sin(x)}$

Langkah 6: Solusi akhir

Isolasi $y$:

$y = 1 \mp A e^{-\sin(x)}$

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah:

$y(x) = 1 \mp A e^{-\sin(x)}$

Kesimpulan:

Solusi untuk persamaan diferensial $y \cos(x) - \cos(x) + y' = 0$ adalah:

$y(x) = 1 \mp A e^{-\sin(x)}$

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan terkait langkah-langkah di atas?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan konstanta $A$ dalam solusi?
2. Apa perbedaan antara solusi umum dan solusi khusus dalam persamaan diferensial?
3. Mengapa kita perlu memisahkan variabel dalam langkah 3?
4. Apa peran fungsi eksponensial dalam solusi persamaan diferensial ini?
5. Bagaimana kita bisa memeriksa apakah solusi sudah benar?

Tip: Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat membantu untuk memeriksa kondisi awal atau kondisi batas agar dapat menentukan nilai konstanta integrasi.