Метод итерации (метод простой итерации) заключается в приведении уравнения к виду $x = \varphi(x)$ и последующем построении последовательности $x_{n+1} = \varphi(x_n)$, которая сходится к корню уравнения.

1. Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:
$x^3 + 3x^2 + 9x - 10 = 0$ Выразим $x$ в виде $x = \varphi(x)$. Один из возможных вариантов:
$x = \sqrt[3]{10 - 3x^2 - 9x}$

2. Проверка условия сходимости

Для сходимости метода итерации необходимо, чтобы выполнялось условие $|\varphi'(x)| < 1$ вблизи корня.

Найдем производную:
$\varphi'(x) = \frac{1}{3} (10 - 3x^2 - 9x)^{-\frac{2}{3}} (-6x - 9)$

Чтобы метод сходился, выбираем начальное приближение вблизи корня. Графический анализ или подстановка показывает, что корень лежит около $x \approx 1$.

3. Итерационный процесс

Возьмем начальное приближение $x_0 = 1$ и вычислим последовательные приближения:

1. $x_1 = \sqrt[3]{10 - 3(1)^2 - 9(1)} = \sqrt[3]{10 - 3 - 9} = \sqrt[3]{-2} \approx -1.26$
2. $x_2 = \sqrt[3]{10 - 3(-1.26)^2 - 9(-1.26)} \approx 1.39$
3. $x_3 = \sqrt[3]{10 - 3(1.39)^2 - 9(1.39)} \approx -1.18$

Последовательность приближений колеблется, что указывает на возможную расходимость. Значит, следует выбрать другую итерационную функцию.

Попробуем другой вариант:
$x = \frac{10 - 3x^2}{9}$ Тогда итерационная формула:
$x_{n+1} = \frac{10 - 3x_n^2}{9}$

Сделаем несколько итераций:

1. $x_0 = 1$
2. $x_1 = \frac{10 - 3(1)^2}{9} = \frac{10 - 3}{9} = \frac{7}{9} \approx 0.7778$
3. $x_2 = \frac{10 - 3(0.7778)^2}{9} \approx 0.8101$
4. $x_3 = \frac{10 - 3(0.8101)^2}{9} \approx 0.8021$
5. $x_4 = \frac{10 - 3(0.8021)^2}{9} \approx 0.8043$
6. $x_5 = \frac{10 - 3(0.8043)^2}{9} \approx 0.8037$

С разницей между последовательными значениями менее 0.001, получаем $x \approx 0.804$ (с точностью до 0.001).

Ответ:

Приближенное решение уравнения:
$x \approx 0.804$

---

Хотите, чтобы я проверил этот результат или дал дополнительные пояснения?

Связанные вопросы:

1. Как выбрать оптимальную итерационную функцию $\varphi(x)$?
2. Как проверить, что метод итераций сходится к решению?
3. Какие другие методы решения нелинейных уравнений существуют?
4. Можно ли улучшить скорость сходимости метода итераций?
5. Как метод итерации связан с методом Ньютона?

Полезный совет:

При использовании метода итераций важно проверять, что $|\varphi'(x)| < 1$ в окрестности корня, иначе метод может не сойтись или сходиться очень медленно.