Voy a resolver los ejercicios que aparecen en la imagen. Vamos paso a paso:

Ejercicio (i)

$\left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{7}{\sqrt{8}} \right)^2$

Resolvemos primero cada fracción:

• $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\frac{7}{\sqrt{8}} = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}$

Ahora tenemos: $\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{4} \right)^2$ Encontramos el común denominador: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}$ $\left( \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{7\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \left( \frac{-5\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{25 \times 2}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

Resultado de (i): $\frac{25}{8}$.

Ejercicio (ii)

$\frac{1}{\sqrt{1.4}} + \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$

Primero racionalizamos el segundo término: $\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ Esto se simplifica como: $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Entonces, el ejercicio se reduce a: $\frac{1}{\sqrt{1.4}} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ Usamos aproximaciones:

• $\sqrt{1.4} \approx 1.183$
• $\frac{1}{\sqrt{1.4}} \approx 0.845$
• $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$

Sumamos: $0.845 + 1 + 0.707 \approx 2.552$

Resultado de (ii): Aproximadamente $2.552$.

Ejercicio (iii)

$\frac{\sqrt{\frac{5}{2}} - 3}{\frac{2}{3}} + \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{2}}$

Primero simplificamos el numerador de la primera fracción:

• $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$, entonces tenemos: $\frac{\frac{\sqrt{10}}{2} - 3}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{10} - 6}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{10} - 6}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3(\sqrt{10} - 6)}{2}$

El segundo término: $\left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$

Resultado de (iii): $\frac{3(\sqrt{10} - 6)}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$

He resuelto hasta el ejercicio (iii). Si necesitas que continúe con los siguientes ejercicios, házmelo saber.

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Tip: Al simplificar fracciones con raíces, siempre considera racionalizar el denominador para facilitar las operaciones.