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Voy a resolver los ejercicios que aparecen en la imagen. Vamos paso a paso:

### Ejercicio (i)
\[
\left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{7}{\sqrt{8}} \right)^2
\]

Resolvemos primero cada fracción:
- \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \frac{7}{\sqrt{8}} = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4} \)

Ahora tenemos:
\[
\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{7\sqrt{2}}{4} \right)^2
\]
Encontramos el común denominador:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}
\]
\[
\left( \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{7\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \left( \frac{-5\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{25 \times 2}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}
\]

**Resultado de (i):** \( \frac{25}{8} \).

### Ejercicio (ii)
\[
\frac{1}{\sqrt{1.4}} + \frac{1}{2 - \sqrt{2}}
\]

Primero racionalizamos el segundo término:
\[
\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}
\]
Esto se simplifica como:
\[
\frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Entonces, el ejercicio se reduce a:
\[
\frac{1}{\sqrt{1.4}} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Usamos aproximaciones:
- \( \sqrt{1.4} \approx 1.183 \)
- \( \frac{1}{\sqrt{1.4}} \approx 0.845 \)
- \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)

Sumamos:
\[
0.845 + 1 + 0.707 \approx 2.552
\]

**Resultado de (ii):** Aproximadamente \( 2.552 \).

### Ejercicio (iii)
\[
\frac{\sqrt{\frac{5}{2}} - 3}{\frac{2}{3}} + \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{2}}
\]

Primero simplificamos el numerador de la primera fracción:
- \( \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \), entonces tenemos:
\[
\frac{\frac{\sqrt{10}}{2} - 3}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{10} - 6}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{10} - 6}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3(\sqrt{10} - 6)}{2}
\]

El segundo término:
\[
\left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}
\]

**Resultado de (iii):** 
\[
\frac{3(\sqrt{10} - 6)}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}
\]

---

He resuelto hasta el ejercicio (iii). Si necesitas que continúe con los siguientes ejercicios, házmelo saber.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo racionalizar fracciones con raíces en el denominador?
2. ¿Cómo aplicar propiedades de potencias y raíces cuadradas en expresiones complejas?
3. ¿Cuándo es útil simplificar expresiones antes de resolverlas?
4. ¿Cómo utilizar aproximaciones numéricas en raíces cuadradas?
5. ¿Qué métodos se usan para encontrar común denominador en fracciones algebraicas?

**Tip**: Al simplificar fracciones con raíces, siempre considera racionalizar el denominador para facilitar las operaciones.

Step-by-step solutions to algebraic expressions involving radicals, fractions, and exponentiation. Learn how to rationalize denominators, simplify radicals, and apply exponent rules. Suitable for high school students.

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