Tehtävässä pyydetään selvittämään ne reaaliarvot $x$, joille epäsuhta $|-2x^2 + 7| < 3$ on voimassa, ja ensisijaisesti sellaiset arvot, joissa $x$ saa negatiivisia reaalilukuja. Ratkaistaan tehtävä vaiheittain.

1. Ratkaise epäsuhta

Lausekkeen $|-2x^2 + 7|$ ollessa alle 3, voimme kirjoittaa epäsuhdan kahdeksi ehdoksi: $-3 < -2x^2 + 7 < 3.$

2. Erota ehdot

Tämä epäsuhta voidaan jakaa kahdeksi erilliseksi epäyhtälöksi:

1. $-3 < -2x^2 + 7$,
2. $-2x^2 + 7 < 3$.

3. Ratkaise kummatkin epäyhtälöt erikseen

Epäyhtälö 1: $-3 < -2x^2 + 7$

Eristetään $x$: $-3 - 7 < -2x^2,$ $-10 < -2x^2,$ $5 > x^2.$

Tämä tarkoittaa, että $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

Epäyhtälö 2: $-2x^2 + 7 < 3$

Eristetään $x$: $-2x^2 < -4,$ $x^2 > 2.$

Tämä tarkoittaa, että $x < -\sqrt{2}$ tai $x > \sqrt{2}$.

4. Yhdistä ehdot

Nyt yhdistetään nämä epäyhtälöt. Saamme: $-\sqrt{5} < x < -\sqrt{2} \quad \text{tai} \quad \sqrt{2} < x < \sqrt{5}.$

5. Vastauksen muoto

Koska pyydettiin ensisijaista vastausta negatiivisille arvoille, vastaus on seuraava:

Kun $-\sqrt{5} < x < -\sqrt{2}$.

Voinko auttaa jossain muussa vaiheessa tai tarvitsetko tarkennusta?

1. Miten määritetään epäyhtälön ratkaisualueita?
2. Kuinka absoluuttinen arvo vaikuttaa epäyhtälöön?
3. Mikä merkitys on negatiivisten arvojen ensisijaisuudella?
4. Miten kirjoittaa ratkaisualue tarkasti?
5. Mitä tarkoittaa yhdistetty ratkaisualue?

Vinkki: Absoluuttinen arvo epäyhtälössä vaatii kahden erillisen epäyhtälön tarkastelua.