Math Problem Statement

Me Metoden e gausit te zgjidhet sistemi : x+2y+3z+4t=5,2x+y+2z+3t=1,3x+2y+z+2t=1,4x+3y+2z+t=-5

Solution

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, ne do të përfaqësojmë sistemin me matricën e koeficientëve dhe do të aplikojmë rreshtat elementarë për ta kthyer atë në formë të reduktuar (formën e shkallëzuar).

Sistemi i ekuacioneve është:

1. &\quad x + 2y + 3z + 4t = 5 \\ 2. &\quad 2x + y + 2z + 3t = 1 \\ 3. &\quad 3x + 2y + z + 2t = 1 \\ 4. &\quad 4x + 3y + 2z + t = -5 \\ \end{aligned}$$ ### Hapat kryesorë të metodës së Gausit: 1. **Përfaqësimi me matricë**: Koeficientët dhe anët e djathta vendosen në një matricë të zgjeruar. $$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & -5 \\ \end{array} \right]$$ 2. **Aplikimi i eliminimit të Gausit**: Do të transformojmë matricën për të kthyer koeficientët përpara ndryshoreve në një matricë trekëndore të sipërme duke përdorur operacionet e rreshtave. - Fillimisht, mbajmë $$R_1$$ siç është dhe përdorim atë për të eliminuar $$x$$-të nga rreshtat e tjerë. - Zbatojmë operacione të tilla si $$R_2 - 2R_1$$, $$R_3 - 3R_1$$, dhe $$R_4 - 4R_1$$, dhe vazhdojmë kështu derisa të kemi një matricë trekëndore të sipërme. ### Zgjidhja: Do të kryej eliminimin për të gjetur sistemin e thjeshtuar dhe pastaj zgjidh do të përdoret **zëvendësimi prapa** për të gjetur vlerat e $$x$$, $$y$$, $$z$$, dhe $$t$$. Le të kryej llogaritjet hap pas hapi.Pas aplikimit të eliminimit të Gausit dhe zëvendësimit mbrapsht, kemi gjetur matricën trekëndore të sipërme dhe zgjidhjet e sistemit. ### Matrica pas eliminimit të Gausit: $$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1.33 & 1.67 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1.25 & 0.75 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{array} \right]$$ ### Zgjidhjet për variablat: $$\begin{aligned} x &= -2 \\ y &= 2 \\ z &= -3 \\ t &= 3 \\ \end{aligned}$$ Pra, zgjidhja për sistemin është $$x = -2$$, $$y = 2$$, $$z = -3$$, dhe $$t = 3$$. A dëshironi më shumë detaje rreth ndonjë hapi specifik apo keni ndonjë pyetje? ### Pyetje të lidhura: 1. Si mund të kontrolloni nëse një sistem ekuacionesh ka zgjidhje unike? 2. Çfarë ndodh nëse një rresht në matricë përmban vetëm zero? 3. Si aplikohet metoda Gauss-Jordan për të zgjidhur sistemet? 4. Cilat janë avantazhet dhe kufizimet e metodës së Gausit? 5. Si zgjidhet një sistem ekuacionesh jo-lineare? ### Këshillë: Nëse hasni një sistem ekuacionesh të komplikuar, metoda e eliminimit të Gausit është një teknikë efektive për zgjidhjen sistematike të tij.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Gaussian Elimination

Formulas

Matrix Representation of Linear Systems
Gaussian Elimination Steps

Theorems

Gaussian Elimination Method
Back Substitution

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Gaussian Elimination: Solve 2x + y + z = 5, 4x + 3y + z = 6, -2x + y - 2z = -2

Solving a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination

Solve 3-variable Linear System: 3x - y - 2z = 13, 5x + 3y - z = 4, 2x - 7y + 3z = -36

Solve System of Equations by Gauss Elimination Method: 3x+4y+5z=18, 2x-y+8z=13, 5x-2y+7z=20

Solving System of Linear Equations using Gaussian Elimination: 2x - 3y - 5z = 1, 3x + y - 2z = -4, x - 2y + z = 5