un numero de tres cifras es multiplo de 5 y 9, y las cifras de las centenas, decenas y unidades estan en progrecion aritmetica creciente. el producto de la cifras de icho numero es

Para resolver este problema, seguimos los siguientes pasos:

1. **Condiciones del problema:**
   - El número es de tres cifras, por lo que tiene la forma \(abc\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son las cifras de las centenas, decenas y unidades, respectivamente.
   - El número es múltiplo de 5 y de 9. Un número es múltiplo de 5 si su última cifra es 0 o 5. Es múltiplo de 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
   - Las cifras \(a\), \(b\) y \(c\) están en progresión aritmética creciente. Esto significa que la diferencia entre las cifras consecutivas es constante, es decir, \(b - a = c - b\). Esto se puede reorganizar como \(2b = a + c\).

2. **Identificación de posibles números:**
   - Como el número es múltiplo de 5, la cifra de las unidades \(c\) debe ser 0 o 5.
   - Si \(c = 0\), las cifras no pueden estar en progresión aritmética creciente, porque eso requeriría una de las cifras anteriores a 0, lo cual no es posible para un número de tres cifras.
   - Por lo tanto, \(c = 5\).

3. **Progresión aritmética:**
   - Si \(c = 5\) y \(a, b, c\) están en progresión aritmética creciente, entonces \(b - a = 5 - b\), lo que se puede reorganizar a \(2b = a + 5\) o \(a = 2b - 5\).

4. **Múltiplo de 9:**
   - La suma de las cifras \(a + b + c\) debe ser múltiplo de 9. Con \(c = 5\), la ecuación se convierte en \(a + b + 5\).

5. **Cálculos posibles:**
   - Sustituyendo \(a = 2b - 5\) en la condición de múltiplo de 9:
   \[
   (2b - 5) + b + 5 = 3b
   \]
   - Para que el número sea múltiplo de 9, \(3b\) debe ser múltiplo de 9. Entonces, \(b\) debe ser múltiplo de 3.

6. **Valores posibles para \(b\):**
   - Los valores posibles de \(b\) (siendo una cifra) son 3, 6, y 9.

7. **Encontrar \(a\) y \(c\):**
   - Para \(b = 3\), \(a = 2(3) - 5 = 1\) y \(c = 5\). Número: 135.
   - Para \(b = 6\), \(a = 2(6) - 5 = 7\) y \(c = 5\). Número: 765.
   - Para \(b = 9\), \(a = 2(9) - 5 = 13\), pero 13 no es una cifra válida (debe ser un solo dígito).

8. **Solución final:**
   - Los números posibles son 135 y 765.
   - El producto de las cifras de 135 es \(1 \times 3 \times 5 = 15\).
   - El producto de las cifras de 765 es \(7 \times 6 \times 5 = 210\).

**Conclusión:**  
El producto de las cifras del número puede ser 15 o 210. Como no se especifica un número en particular, ambas respuestas son válidas según las condiciones dadas.

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¿Deseas una explicación más detallada o tienes alguna pregunta específica sobre el problema?  

Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Qué es una progresión aritmética y cómo se aplica a las cifras de un número?
2. ¿Por qué un número múltiplo de 5 debe terminar en 0 o 5?
3. ¿Cómo se determina si un número es múltiplo de 9?
4. ¿Por qué no consideramos \(c = 0\) en este problema?
5. ¿Qué otros números de tres cifras cumplen con la condición de ser múltiplos de 5 y 9?

**Tip:** Siempre verifica las condiciones del problema (como múltiplos, cifras, y progresión aritmética) para reducir las posibles soluciones antes de calcular.

Explore how to solve a problem involving a three-digit number that is a multiple of 5 and 9, with its digits in an arithmetic progression. Learn the conditions for multiples, arithmetic progression, and digit sums. Suitable for Grades 7-9.

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