Para resolver este problema, seguimos los siguientes pasos:

1. Condiciones del problema:

   • El número es de tres cifras, por lo que tiene la forma $abc$, donde $a$, $b$ y $c$ son las cifras de las centenas, decenas y unidades, respectivamente.
   • El número es múltiplo de 5 y de 9. Un número es múltiplo de 5 si su última cifra es 0 o 5. Es múltiplo de 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
   • Las cifras $a$, $b$ y $c$ están en progresión aritmética creciente. Esto significa que la diferencia entre las cifras consecutivas es constante, es decir, $b - a = c - b$. Esto se puede reorganizar como $2b = a + c$.

2. Identificación de posibles números:

   • Como el número es múltiplo de 5, la cifra de las unidades $c$ debe ser 0 o 5.
   • Si $c = 0$, las cifras no pueden estar en progresión aritmética creciente, porque eso requeriría una de las cifras anteriores a 0, lo cual no es posible para un número de tres cifras.
   • Por lo tanto, $c = 5$.

3. Progresión aritmética:

   • Si $c = 5$ y $a, b, c$ están en progresión aritmética creciente, entonces $b - a = 5 - b$, lo que se puede reorganizar a $2b = a + 5$ o $a = 2b - 5$.

4. Múltiplo de 9:

   • La suma de las cifras $a + b + c$ debe ser múltiplo de 9. Con $c = 5$, la ecuación se convierte en $a + b + 5$.

5. Cálculos posibles:

   • Sustituyendo $a = 2b - 5$ en la condición de múltiplo de 9: $(2b - 5) + b + 5 = 3b$
   • Para que el número sea múltiplo de 9, $3b$ debe ser múltiplo de 9. Entonces, $b$ debe ser múltiplo de 3.

6. Valores posibles para $b$:

   • Los valores posibles de $b$ (siendo una cifra) son 3, 6, y 9.

7. Encontrar $a$ y $c$:

   • Para $b = 3$, $a = 2(3) - 5 = 1$ y $c = 5$. Número: 135.
   • Para $b = 6$, $a = 2(6) - 5 = 7$ y $c = 5$. Número: 765.
   • Para $b = 9$, $a = 2(9) - 5 = 13$, pero 13 no es una cifra válida (debe ser un solo dígito).

8. Solución final:

   • Los números posibles son 135 y 765.
   • El producto de las cifras de 135 es $1 \times 3 \times 5 = 15$.
   • El producto de las cifras de 765 es $7 \times 6 \times 5 = 210$.

Conclusión:
El producto de las cifras del número puede ser 15 o 210. Como no se especifica un número en particular, ambas respuestas son válidas según las condiciones dadas.

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¿Deseas una explicación más detallada o tienes alguna pregunta específica sobre el problema?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Qué es una progresión aritmética y cómo se aplica a las cifras de un número?
2. ¿Por qué un número múltiplo de 5 debe terminar en 0 o 5?
3. ¿Cómo se determina si un número es múltiplo de 9?
4. ¿Por qué no consideramos $c = 0$ en este problema?
5. ¿Qué otros números de tres cifras cumplen con la condición de ser múltiplos de 5 y 9?

Tip: Siempre verifica las condiciones del problema (como múltiplos, cifras, y progresión aritmética) para reducir las posibles soluciones antes de calcular.