Math Problem Statement

selesaikan spl di bawah dengan metode matrix invers beserta cara lengkapnya 3x+2y-5z=21 x-4y+2z=-17 2x+y-z=4

Solution

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan metode matriks invers, kita akan melalui langkah-langkah berikut:

Diberikan SPL:

3x + 2y - 5z &= 21 \quad \text{(Persamaan 1)}\\ x - 4y + 2z &= -17 \quad \text{(Persamaan 2)}\\ 2x + y - z &= 4 \quad \text{(Persamaan 3)} \end{aligned}$$ ### Langkah 1: Representasi dalam bentuk matriks Sistem persamaan di atas dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai: $$A \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ di mana: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -5 \\ 1 & -4 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 21 \\ -17 \\ 4 \end{pmatrix}$$ ### Langkah 2: Hitung Determinan Matriks $$A$$ Determinannya harus dihitung untuk memastikan bahwa matriks $$A$$ dapat dibalik (inversnya ada). Determinannya adalah: $$\text{det}(A) = 3 \times \text{det}\left(\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right) - 2 \times \text{det}\left(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\right) + (-5) \times \text{det}\left(\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right)$$ Mari kita hitung det(A). ### Langkah 3: Temukan Matriks Invers $$A^{-1}$$ Jika determinan $$A$$ tidak nol, maka kita dapat menemukan invers dari $$A$$ menggunakan formula invers untuk matriks 3x3. ### Langkah 4: Hitung $$\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$$ Setelah mendapatkan matriks invers $$A^{-1}$$, kita kalikan dengan vektor $$\mathbf{b}$$ untuk mendapatkan nilai $$x$$, $$y$$, dan $$z$$. Sekarang, saya akan melakukan semua perhitungan ini secara detail.Determinannya adalah $$\text{det}(A) = -29$$. Karena determinannya tidak nol, matriks $$A$$ memiliki invers, sehingga kita bisa melanjutkan dengan menghitung inversnya. ### Langkah 3: Temukan Matriks Invers $$A^{-1}$$ Sekarang kita akan menghitung invers dari matriks $$A$$. $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$$ ### Langkah 4: Hitung $$\mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b}$$ Setelah mendapatkan $$A^{-1}$$, kita kalikan dengan $$\mathbf{b}$$ untuk menemukan nilai $$x$$, $$y$$, dan $$z$$. Mari kita lakukan perhitungan ini.Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian lengkapnya: ### Matriks Invers $$A^{-1}$$ Invers dari matriks $$A$$ adalah: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.06897 & 0.10345 & 0.55172 \\ -0.17241 & -0.24138 & 0.37931 \\ -0.31034 & -0.03448 & 0.48276 \end{pmatrix}$$ ### Hasil Perhitungan Dengan mengalikan matriks invers $$A^{-1}$$ dengan vektor $$\mathbf{b}$$, kita mendapatkan nilai $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$: $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$$ Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah: $$x = -1, \quad y = 2, \quad z = -4$$ Apakah ada yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang mungkin berguna: 1. Bagaimana cara menghitung adjugate dari suatu matriks? 2. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan SPL selain metode matriks invers? 3. Bagaimana cara menggunakan metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan SPL ini? 4. Bagaimana cara memeriksa solusi dari SPL ini untuk memastikan keakuratannya? 5. Mengapa determinan yang tidak nol penting dalam menentukan apakah suatu matriks memiliki invers? **Tip:** Memahami langkah-langkah dalam metode matriks invers dapat membantu memecahkan berbagai jenis sistem persamaan linear dengan cepat dan efisien.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear algebra
Matrix operations
Systems of linear equations

Formulas

Matrix determinant formula
Matrix inverse formula

Theorems

-

Suitable Grade Level

Grades 11-12

Related Recommendation

Solve System of Equations Using Inverse Matrix - 12.4.75-GC

Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrix Method

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrices: 4x1+x2-5x3=16, x1 +2x2-4x3=6, -2x2-x3=6

Solve System of Linear Equations using Matrix Inverse Method