x1

Para resolver o sistema de equações lineares dado, vamos proceder passo a passo.

Passo 1: Escrever a matriz $A$ e o vetor $B$

A matriz $A$ e o vetor $B$ já são dados na forma:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

Passo 2: Encontrar a inversa de $A$

A inversa de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrada pela fórmula:

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

onde $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Para nossa matriz $A$:

$\text{det}(A) = (3)(1) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1$

Então:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Isso nos dá:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Portanto:

$a_{11}^{-1} = 1, \quad a_{12}^{-1} = 1, \quad a_{21}^{-1} = 2, \quad a_{22}^{-1} = 3$

Passo 3: Encontrar os valores de $x_0$ e $x_1$

Multiplicando $A^{-1}$ por $B$:

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-4) + 1(0) \\ 2(-4) + 3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \end{pmatrix}$

Portanto:

$x_0 = -4, \quad x_1 = -8$

Respostas finais:

• $a_{11}^{-1} = 1$
• $a_{12}^{−1} = 1$
• $a_{21}^{-1} = 2$
• $a_{22}^{−1} = 3$
• $x_0 = -4$
• $x_1 = -8$

Posso ajudar com mais alguma coisa ou explicar algum desses passos em mais detalhes?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas ao assunto:

1. Como é calculado o determinante de uma matriz $3 \times 3$?
2. Quais são as propriedades importantes da matriz inversa?
3. Quando uma matriz não tem inversa?
4. Como resolver um sistema de equações lineares usando eliminação de Gauss?
5. Qual é o significado geométrico de uma matriz $2 \times 2$ inversa?

Dica: A inversa de uma matriz só existe se seu determinante for diferente de zero.