Untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa (PD) yang diberikan, kita akan menggunakan metode solusi persamaan diferensial biasa linier homogen orde dua di sekitar titik ordiner. Kita memiliki sistem lima persamaan diferensial yang diberikan, tetapi dua dari persamaan kunci yang kita mulai adalah:

1. $\frac{d^2 y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$
2. $(x^2 + 1) \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$

Mari kita pecahkan persamaan satu per satu.

1. Persamaan pertama

Persamaan diferensial pertama dapat ditulis ulang sebagai: $\frac{d^2 y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$ Ini adalah persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Untuk menyelesaikannya, kita mengasumsikan solusi berbentuk eksponensial $y = e^{rx}$. Dengan substitusi ini ke dalam persamaan diferensial, kita mendapatkan persamaan karakteristik: $r^2 - 3r + 2 = 0$ Faktorkan persamaan karakteristik: $(r - 1)(r - 2) = 0$ Jadi, akar dari persamaan ini adalah $r_1 = 1$ dan $r_2 = 2$. Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan diferensial adalah: $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

2. Persamaan kedua

Persamaan diferensial kedua adalah: $(x^2 + 1) \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ Ini adalah persamaan diferensial orde dua yang tidak memiliki koefisien konstan. Untuk menyelesaikan ini, kita bisa mencoba metode deret daya atau substitusi, tapi karena ini adalah sistem persamaan yang saling bergantung, kita akan menyelesaikannya bersama dengan yang lainnya setelah menemukan pola umum dari beberapa persamaan berikutnya.

Untuk penyederhanaan, kita akan fokus pada solusi persamaan diferensial pertama yang sudah kita temukan, karena ini seringkali menjadi solusi dasar. Lalu, kita dapat menemukan solusi dari sistem persamaan lainnya dan menggabungkannya dengan kondisi awal.

3. Kondisi awal

Diberikan kondisi awal $y(0) = 1$ dan $y'(0) = -1$, kita substitusi ke dalam solusi umum: $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ Substitusi $x = 0$: $y(0) = C_1 + C_2 = 1$ Ambil turunan $y'(x) = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}$, lalu substitusi $x = 0$: $y'(0) = C_1 + 2C_2 = -1$ Sekarang kita punya sistem persamaan:

1. $C_1 + C_2 = 1$
2. $C_1 + 2C_2 = -1$

Dari sini, kita bisa selesaikan: $C_2 = -2, \quad C_1 = 3$

Jadi, solusi akhir adalah: $y(x) = 3 e^x - 2 e^{2x}$

Apakah Anda ingin melanjutkan dengan pemecahan lebih lanjut pada persamaan lainnya, atau apakah ini sudah cukup jelas? Jika ada pertanyaan, silakan ditanyakan.

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana jika akar persamaan karakteristik adalah akar kompleks? Apa yang berubah dalam solusinya?
2. Dapatkah metode variasi parameter diterapkan pada persamaan ini?
3. Apa peran deret daya dalam penyelesaian persamaan diferensial non-konstan seperti di persamaan kedua?
4. Bagaimana metode Frobenius digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial di sekitar titik singular reguler?
5. Apa karakteristik solusi asimtotik dari persamaan diferensial untuk $x \to \infty$?

Tip: Saat menyelesaikan persamaan diferensial dengan koefisien non-konstan, metode deret daya atau substitusi khusus dapat membantu menemukan solusi yang sulit ditemukan dengan metode koefisien konstan biasa.