sinθ＋cosθ=1/2のとき、sinθ^4－cosθ^4の値を求めよ。ただし、θは鈍角とする。

与えられた方程式は \( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \) であり、θは鈍角（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）とします。求めるのは \( \sin^4 \theta - \cos^4 \theta \) の値です。

まず、\( \sin^4 \theta - \cos^4 \theta \) は次のように因数分解できます。

\[
\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)
\]

ここで、三角関数の基本的な恒等式より

\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]

したがって、式は次のように簡略化されます。

\[
\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta
\]

次に、\( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \) を求めます。これを計算するために、与えられた式 \( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \) を利用します。

### ステップ1: \( \sin \theta \cdot \cos \theta \) を求める

まず、次の恒等式を利用します。

\[
(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta
\]

これに \( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \) を代入すると、

\[
\left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta
\]

\[
\frac{1}{4} = 1 + 2\sin \theta \cos \theta
\]

\[
2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
\]

\[
\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}
\]

### ステップ2: \( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \) を求める

次に、\( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \) を計算します。これには次の恒等式を利用します。

\[
\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin \theta - \cos \theta)
\]

既に \( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \) が与えられているので、次に \( \sin \theta - \cos \theta \) を求める必要があります。ここで、次の恒等式を使用します。

\[
(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta
\]

\[
(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 \times \left( -\frac{3}{8} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}
\]

したがって、

\[
\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}
\]

### ステップ3: \( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \) の計算

これを元の式に代入します。

\[
\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{\sqrt{7}}{2} \right) = \frac{\sqrt{7}}{4}
\]

### 結論:

したがって、\( \sin^4 \theta - \cos^4 \theta \) の値は

\[
\boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}}
\]

となります。

---

この問題に関して質問があれば教えてください。また、次の5つの関連する質問を考えてみましょう。

1. \( \sin \theta + \cos \theta = 1/2 \) のとき、\( \sin \theta \) と \( \cos \theta \) の具体的な値を求めるには？
2. \( \sin \theta \cdot \cos \theta \) を使った他の三角関数の恒等式にはどんなものがあるか？
3. \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) の公式はどのようにして導かれるのか？
4. 鈍角の範囲での \( \sin \theta \) と \( \cos \theta \) の特徴とは？
5. \( \sin^4 \theta - \cos^4 \theta \) を別の方法で解くとどうなるか？

**Tip:** 因数分解は式を簡略化し、問題を解く助けになります。

Learn how to find the value of sinθ^4 - cosθ^4 when given sinθ + cosθ = 1/2, where θ is an obtuse angle. This problem involves trigonometric identities such as the Pythagorean Identity and the sum and difference of squares. Detailed steps and explanations are provided, suitable for Grades 10-12.

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