sinθ＋cosθ=1/2のとき、sinθ^4－cosθ^4の値を求めよ。ただし、θは鈍角とする。

与えられた条件は、  
\[ \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \]  
また、求めたい値は  
\[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta \]  
です。

まず、\(\sin^4 \theta - \cos^4 \theta\)の式は因数分解できるので次のように変形します：  
\[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \]

ここで、\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) という三角関数の基本恒等式を使うと、式は次のように簡単になります：  
\[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \]

次に、\(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta\)を求めるために、\(\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}\) という情報を活用します。  
両辺を2乗すると次のようになります：  
\[ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]  
\[ \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \]

ここで、\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) を使うと：  
\[ 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \]  
これを整理すると、  
\[ 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \]  
よって、  
\[ \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} \]

次に、\(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta\)を求めるために次の恒等式を利用します：  
\[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin \theta - \cos \theta) \]

既に\(\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}\)がわかっているので、\(\sin \theta - \cos \theta\)を求めます。これには以下の関係を使います：  
\[ (\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta \]  
したがって：  
\[ (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \left(-\frac{3}{8}\right) \]  
\[ (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} + \frac{12}{8} = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4} \]  
よって、  
\[ \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]

これで、\(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta\)は次のように求められます：  
\[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

したがって、  
\[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

この値が答えです。

### ご質問があればどうぞ、またはさらに詳細な説明をお求めください。

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### 関連する質問：
1. 他の値の\(\sin \theta + \cos \theta\)に対する\(\sin^4 \theta - \cos^4 \theta\)の計算方法は？
2. \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)の証明はどうなりますか？
3. \(\sin \theta - \cos \theta\)を直接求める方法は？
4. 因数分解を用いて\(\sin^4 \theta - \cos^4 \theta\)を解く別の方法はありますか？
5. 三角関数の和や差に関する他の恒等式にはどのようなものがありますか？

### Tip:
三角関数の基本恒等式\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)は多くの三角問題の基礎となるので、しっかり覚えておきましょう。

Explore how to solve for sin^4θ - cos^4θ given that sinθ + cosθ = 1/2, with detailed steps including the use of trigonometric identities and algebraic manipulation. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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