≦θ≦180°とする。sinθ=3cosθのとき、sinθcosθの値を求めよ

与えられた条件は \( \theta \) が \( 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ \) の範囲にあり、\( \sin\theta = 3\cos\theta \) です。このとき、\( \sin\theta \cos\theta \) の値を求めます。

1. まず、\( \sin\theta = 3\cos\theta \) を \( \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 3 \) と書き換えます。これは、\( \tan\theta = 3 \) ということです。

2. \( \tan\theta = 3 \) から、\( \theta \) を求めることができます。
   \[
   \theta = \tan^{-1}(3)
   \]
   ただし、\( \theta \) は範囲 \( 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ \) なので、\( \theta = \tan^{-1}(3) \approx 71.57^\circ \) です。

3. 次に、三角比の基本的な恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) を使います。まず、\( \tan\theta = 3 \) なので、\( \sin\theta \) と \( \cos\theta \) の比は次のようになります：
   \[
   \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 3 \quad \text{つまり} \quad \sin\theta = 3\cos\theta
   \]
   これを \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) に代入します。
   \[
   (3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1
   \]
   \[
   9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1
   \]
   \[
   10\cos^2\theta = 1
   \]
   \[
   \cos^2\theta = \frac{1}{10}
   \]
   よって、
   \[
   \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}
   \]

4. 次に、\( \sin\theta = 3\cos\theta \) なので、
   \[
   \sin\theta = 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
   \]

5. 最後に、\( \sin\theta \cos\theta \) の値を求めます：
   \[
   \sin\theta \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{10}
   \]

したがって、\( \sin\theta \cos\theta = \frac{3}{10} \) です。

ご質問や詳細な説明が必要でしたら、お知らせください！

**関連質問:**
1. \( \tan\theta \) の定義を詳しく説明してください。
2. なぜ三角恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) が成り立つのですか？
3. \( \theta = 71.57^\circ \) 以外の解がある場合、それをどう見つけますか？
4. 他の三角関数 \( \sin 2\theta \) や \( \cos 2\theta \) を使った解法はありますか？
5. \( \sin\theta \cos\theta \) の値が他の角度でも成り立つか調べる方法はありますか？

**Tip:** \( \sin\theta \cos\theta \) の公式は、\( \frac{1}{2}\sin 2\theta \) という形でも表せます。

Find the value of sinθcosθ when sinθ = 3cosθ, with θ in the range 0° ≤ θ ≤ 180°. This problem involves trigonometric ratios, identities, and the Pythagorean identity. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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