Diberikan pertidaksamaan $\left| \frac{x+2}{1-x} \right| \leq 3$. Kita akan menyelesaikannya dalam beberapa langkah dan mencari nilai $x$ dalam bentuk interval.

Langkah 1: Menghapus tanda mutlak

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda mutlak, kita harus menghilangkan tanda mutlak terlebih dahulu. Ingat bahwa untuk suatu bilangan $A$, $|A| \leq B$ berarti $-B \leq A \leq B$.

Maka, kita bisa menuliskan:

$-3 \leq \frac{x+2}{1-x} \leq 3$

Sekarang kita akan menyelesaikan dua pertidaksamaan berikut secara terpisah:

1. $\frac{x+2}{1-x} \geq -3$
2. $\frac{x+2}{1-x} \leq 3$

Langkah 2: Menyelesaikan pertidaksamaan pertama

Kita mulai dengan pertidaksamaan pertama:

$\frac{x+2}{1-x} \geq -3$

Kalikan kedua ruas dengan $1-x$, tetapi perlu diingat bahwa $1-x$ dapat bernilai positif atau negatif, yang mempengaruhi tanda pertidaksamaan. Kita akan membagi kasusnya nanti.

$x+2 \geq -3(1-x)$

Sederhanakan:

$x+2 \geq -3 + 3x$

Pindahkan semua variabel $x$ ke satu sisi:

$x - 3x \geq -3 - 2$

$-2x \geq -5$

Bagi kedua ruas dengan -2 (ingat, ketika membagi atau mengalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berbalik):

$x \leq \frac{5}{2}$

Jadi, dari pertidaksamaan pertama kita dapatkan $x \leq \frac{5}{2}$.

Langkah 3: Menyelesaikan pertidaksamaan kedua

Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan kedua:

$\frac{x+2}{1-x} \leq 3$

Kalikan kedua ruas dengan $1-x$, lagi-lagi perlu hati-hati dengan tanda pertidaksamaan jika $1-x$ negatif:

$x+2 \leq 3(1-x)$

Sederhanakan:

$x+2 \leq 3 - 3x$

Pindahkan semua variabel $x$ ke satu sisi:

$x + 3x \leq 3 - 2$

$4x \leq 1$

Bagi kedua ruas dengan 4:

$x \leq \frac{1}{4}$

Langkah 4: Kondisi dari penyebut

Karena ada penyebut $1-x$, kita harus memastikan bahwa $1-x \neq 0$, sehingga $x \neq 1$.

Langkah 5: Menggabungkan solusi

Dari langkah sebelumnya, kita mendapatkan dua interval:

1. $x \leq \frac{5}{2}$ dari pertidaksamaan pertama.
2. $x \leq \frac{1}{4}$ dari pertidaksamaan kedua.

Namun, kita juga harus memastikan bahwa $x \neq 1$.

Jadi, solusi akhir untuk $x$ adalah interval:

$x \in (-\infty, \frac{1}{4}]$

dengan syarat $x \neq 1$.

Penyelesaian dalam bentuk garis bilangan:

Di garis bilangan, solusi ini adalah semua bilangan yang kurang dari atau sama dengan $\frac{1}{4}$, kecuali $x = 1$.

---

Apakah Anda ingin saya memberikan rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang mungkin ingin Anda eksplorasi:

1. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional tanpa tanda mutlak?
2. Apa bedanya antara pertidaksamaan linier dan non-linier?
3. Bagaimana cara menangani pertidaksamaan dengan penyebut nol?
4. Bagaimana metode lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak?
5. Bagaimana menggambarkan penyelesaian interval di garis bilangan?

Tip: Saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif dalam pertidaksamaan, jangan lupa membalik tanda pertidaksamaannya!