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Hola, la desigualdad que has proporcionado es \( x^2 - 6x \geq 0 \). Aquí te muestro los pasos para resolverla:

### 1. Factorización
Primero, factoremos el polinomio del lado izquierdo:

\[
x^2 - 6x = x(x - 6)
\]

Entonces, la desigualdad se convierte en:

\[
x(x - 6) \geq 0
\]

### 2. Encontrar los puntos críticos
Los puntos donde la expresión es igual a cero son los valores de \(x\) que hacen que \(x(x - 6) = 0\). Estos valores son:

\[
x = 0 \quad \text{y} \quad x = 6
\]

### 3. Analizar los intervalos
Dividimos la recta real en tres intervalos usando estos puntos: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 6) \) y \( (6, \infty) \).

Para determinar en qué intervalos la expresión \( x(x - 6) \geq 0 \), evaluamos los signos del producto en cada intervalo:

- Para \(x \in (-\infty, 0)\), tanto \(x\) como \(x-6\) son negativos, así que el producto es positivo.
- Para \(x \in (0, 6)\), \(x\) es positivo y \(x-6\) es negativo, así que el producto es negativo.
- Para \(x \in (6, \infty)\), tanto \(x\) como \(x-6\) son positivos, así que el producto es positivo.

### 4. Solución
La desigualdad es \( \geq 0 \), lo que significa que necesitamos los intervalos donde el producto sea positivo o igual a cero. De los pasos anteriores, esto ocurre en:

- \( (-\infty, 0] \)
- \( [6, \infty) \)

Por lo tanto, la solución es:

\[
(-\infty, 0] \cup [6, \infty)
\]

### Respuesta:
La solución de la desigualdad \(x^2 - 6x \geq 0\) es:

\[
x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas con más términos?
2. ¿Cómo graficar desigualdades cuadráticas en la recta numérica?
3. ¿Qué ocurre si la desigualdad es estricta (\(>\) en lugar de \(\geq\))?
4. ¿Cómo se resuelven desigualdades cuando no se pueden factorizar?
5. ¿Cómo influyen los puntos críticos en la solución de una desigualdad?

### Tip:
Cuando resuelvas una desigualdad cuadrática, siempre evalúa los signos del producto en cada intervalo para determinar en qué rangos la desigualdad se satisface.

Learn how to solve the quadratic inequality x^2 - 6x ≥ 0 step by step. This tutorial covers factoring, analyzing critical points, and evaluating the solution on the number line. Suitable for students in Grades 9-10.

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