El problema pide determinar las raíces reales de la función $f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5$, y en el inciso c), solicita el uso del método de bisección con tres iteraciones para encontrar la raíz más grande. Nos dan los valores iniciales $x_1 = 5$ y $x_u = 10$. También se requiere calcular el error estimado $e_a$ y el error verdadero $e_t$ en cada iteración.

Paso 1: Definir la función

La función es: $f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5$

Paso 2: Aplicar el método de bisección

El método de bisección se basa en dividir el intervalo en dos partes y seleccionar el subintervalo donde la función cambia de signo, lo que indica que hay una raíz. Procedemos a realizar tres iteraciones.

Primera Iteración:

• $x_1 = 5$, $x_u = 10$
• Punto medio: $x_m = \frac{x_1 + x_u}{2} = \frac{5 + 10}{2} = 7.5$
• Evaluamos $f(5)$, $f(10)$ y $f(7.5)$: $f(5) = -0.5(5)^2 + 2.5(5) + 4.5 = -0.5(25) + 12.5 + 4.5 = -12.5 + 12.5 + 4.5 = 4.5$ $f(10) = -0.5(10)^2 + 2.5(10) + 4.5 = -0.5(100) + 25 + 4.5 = -50 + 25 + 4.5 = -20.5$ $f(7.5) = -0.5(7.5)^2 + 2.5(7.5) + 4.5 = -0.5(56.25) + 18.75 + 4.5 = -28.125 + 18.75 + 4.5 = -4.875$ Como $f(5) > 0$ y $f(7.5) < 0$, la raíz está entre $x_1 = 5$ y $x_m = 7.5$.

Segunda Iteración:

• Nuevo intervalo: $x_1 = 5$, $x_u = 7.5$
• Punto medio: $x_m = \frac{5 + 7.5}{2} = 6.25$
• Evaluamos $f(6.25)$: $f(6.25) = -0.5(6.25)^2 + 2.5(6.25) + 4.5 = -0.5(39.0625) + 15.625 + 4.5 = -19.53125 + 15.625 + 4.5 = 0.59375$ Como $f(6.25) > 0$ y $f(7.5) < 0$, la raíz está entre $x_m = 6.25$ y $x_u = 7.5$.

Tercera Iteración:

• Nuevo intervalo: $x_1 = 6.25$, $x_u = 7.5$
• Punto medio: $x_m = \frac{6.25 + 7.5}{2} = 6.875$
• Evaluamos $f(6.875)$: $f(6.875) = -0.5(6.875)^2 + 2.5(6.875) + 4.5 = -0.5(47.265625) + 17.1875 + 4.5 = -23.6328125 + 17.1875 + 4.5 = -1.9453125$ Como $f(6.25) > 0$ y $f(6.875) < 0$, la raíz está entre $x_1 = 6.25$ y $x_u = 6.875$.

Paso 3: Cálculo de errores

El error estimado $e_a$ es: $e_a = \left| \frac{x_u - x_1}{x_m} \right| \times 100$ Calculamos el error en cada iteración.

1. Primera iteración: $e_a = \left| \frac{10 - 5}{7.5} \right| \times 100 = 66.67\%$
2. Segunda iteración: $e_a = \left| \frac{7.5 - 5}{6.25} \right| \times 100 = 40\%$
3. Tercera iteración: $e_a = \left| \frac{7.5 - 6.25}{6.875} \right| \times 100 = 18.18\%$

El error verdadero $e_t$ requiere conocer la raíz real, que se puede calcular utilizando la fórmula cuadrática o de otro modo, pero en este caso el enfoque es iterativo, por lo que el $e_t$ puede depender de la aproximación final.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso específico o realizar más iteraciones? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir el problema:

1. ¿Qué sucede si continuamos con más iteraciones del método de bisección?
2. ¿Cómo se compara el método de bisección con el método de la secante para este tipo de funciones?
3. ¿Cómo afectaría la precisión si se usara un intervalo diferente para iniciar el método de bisección?
4. ¿Cómo se determina el error verdadero sin conocer la raíz exacta?
5. ¿Cómo afecta la forma cuadrática de la función al proceso de encontrar las raíces?

Tip: El método de bisección es muy robusto, pero puede ser más lento que otros métodos como Newton-Raphson si se tiene una buena estimación inicial.