suku banyak 2 x ^ 3 + ax kuadrat + bx dikurang 2 memberikan sisa 7 jika dibagi 2 x dikurang 3 dan habis dibagi oleh x + 2 tentukan nilai 2 a + b

Diberikan suku banyak \( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 2 \). Diketahui bahwa suku banyak ini memberikan sisa 7 jika dibagi oleh \( 2x - 3 \) dan habis dibagi oleh \( x + 2 \). Kita diminta untuk menentukan nilai dari \( 2a + b \).

### Langkah-langkah penyelesaian:

1. **Gunakan Teorema Sisa:**
   - Jika \( P(x) \) dibagi oleh \( 2x - 3 \), sisa yang diperoleh adalah 7.
   - Substitusi \( x = \frac{3}{2} \) ke dalam \( P(x) \) karena akar dari \( 2x - 3 \) adalah \( x = \frac{3}{2} \):
   \[
   P\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 + a\left(\frac{3}{2}\right)^2 + b\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = 7
   \]
   \[
   2\left(\frac{27}{8}\right) + a\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3b}{2} - 2 = 7
   \]
   \[
   \frac{27}{4} + \frac{9a}{4} + \frac{3b}{2} - 2 = 7
   \]
   \[
   \frac{9a}{4} + \frac{3b}{2} + \frac{19}{4} = 7
   \]
   \[
   \frac{9a}{4} + \frac{3b}{2} = 7 - \frac{19}{4}
   \]
   \[
   \frac{9a}{4} + \frac{3b}{2} = \frac{9}{4}
   \]
   \[
   9a + 6b = 9 \quad \text{(1)}
   \]
   \[
   3a + 2b = 3 \quad \text{(persamaan pertama)}
   \]

2. **Gunakan Teorema Faktor:**
   - Karena \( P(x) \) habis dibagi oleh \( x + 2 \), maka \( P(-2) = 0 \).
   - Substitusi \( x = -2 \) ke dalam \( P(x) \):
   \[
   P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 2 = 0
   \]
   \[
   -16 + 4a - 2b - 2 = 0
   \]
   \[
   4a - 2b = 18 \quad \text{(2)}
   \]
   \[
   2a - b = 9 \quad \text{(persamaan kedua)}
   \]

3. **Selesaikan Sistem Persamaan Linear:**
   Dari persamaan \( 3a + 2b = 3 \) dan \( 2a - b = 9 \), kita selesaikan untuk \( a \) dan \( b \):

   Kalikan persamaan kedua dengan 2 agar dapat menghilangkan \( b \) saat dijumlahkan dengan persamaan pertama:
   \[
   4a - 2b = 18
   \]
   \[
   3a + 2b = 3
   \]

   Jumlahkan kedua persamaan:
   \[
   7a = 21
   \]
   \[
   a = 3
   \]

   Substitusi \( a = 3 \) ke dalam \( 2a - b = 9 \):
   \[
   6 - b = 9
   \]
   \[
   b = -3
   \]

4. **Hitung \( 2a + b \):**
   \[
   2a + b = 2(3) + (-3) = 6 - 3 = 3
   \]

### Jawaban:
Nilai \( 2a + b \) adalah **3**.

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa soal terkait:

1. Bagaimana cara menentukan sisa suatu suku banyak saat dibagi oleh suku banyak linear lainnya?
2. Apa itu Teorema Sisa dan bagaimana penerapannya dalam menyelesaikan suku banyak?
3. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel?
4. Mengapa suku banyak yang habis dibagi oleh suatu faktor memiliki sisa 0?
5. Bagaimana langkah-langkah mengidentifikasi nilai koefisien dalam suku banyak jika diberikan kondisi tertentu?

**Tip:** Saat menyelesaikan sistem persamaan linear, coba eliminasi satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan setelah mengalikan salah satu persamaan dengan suatu faktor agar koefisien dari salah satu variabel sama.

Learn how to solve a polynomial division problem involving the polynomial 2x^3 + ax^2 + bx - 2. This problem covers key concepts such as polynomial remainder theorem and factor theorem, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation