Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan metode invers matriks, kita bisa memodelkan persamaan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Sistem persamaan yang diberikan adalah:

1. $x + 3y = 4$
2. $2x + y = 6$

Langkah 1: Menulis dalam bentuk matriks

Kita dapat menulis persamaan tersebut dalam bentuk matriks seperti ini:

1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Matriks ini memiliki bentuk umum $$A \cdot X = B$$, di mana: - $$A$$ adalah matriks koefisien $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$, - $$X$$ adalah vektor yang berisi variabel $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$, - $$B$$ adalah vektor hasil $$\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$. ### Langkah 2: Mencari invers matriks $$A$$ Untuk menyelesaikan $$X$$, kita perlu menghitung invers dari matriks $$A$$, yaitu $$A^{-1}$$, dan kemudian mengalikannya dengan $$B$$. Invers dari matriks 2x2 $$A$$ adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$ Untuk matriks $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$, kita perlu menghitung determinannya terlebih dahulu: $$\text{det}(A) = (1 \cdot 1) - (3 \cdot 2) = 1 - 6 = -5$$ Maka, invers matriks $$A$$ adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$ ### Langkah 3: Mengalikan $$A^{-1}$$ dengan $$B$$ Sekarang kita kalikan $$A^{-1}$$ dengan $$B$$: $$X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Hasil perkalian matriks tersebut adalah: $$X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5}(4) + \frac{3}{5}(6) \\ \frac{2}{5}(4) - \frac{1}{5}(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{5} + \frac{18}{5} \\ \frac{8}{5} - \frac{6}{5} \end{pmatrix}$$ Menyederhanakan hasilnya: $$X = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{2}{5} \end{pmatrix}$$ ### Langkah 4: Menuliskan nilai x dan y Dari hasil di atas, kita peroleh: $$x = \frac{14}{5}, \quad y = \frac{2}{5}$$ Jadi, nilai $$x = \frac{14}{5}$$ dan $$y = \frac{2}{5}$$. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? ### 5 Pertanyaan Lanjutan: 1. Bagaimana cara memverifikasi hasil $$x$$ dan $$y$$ dengan substitusi kembali ke dalam persamaan asli? 2. Bagaimana metode invers matriks dibandingkan dengan metode eliminasi Gauss dalam menyelesaikan sistem persamaan linier? 3. Apa yang terjadi jika determinan matriks $$A$$ bernilai nol? 4. Bagaimana cara menggunakan kalkulator ilmiah untuk menghitung invers matriks? 5. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier selain metode invers matriks? ### Tip: Ketika determinan suatu matriks sama dengan nol, matriks tersebut tidak memiliki invers dan sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi unik.