Carilah nilai x dan y dari sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan metode Invers Matriks! x+3y = 4. 2x+y=6

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan metode invers matriks, kita bisa memodelkan persamaan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Sistem persamaan yang diberikan adalah:
1. \( x + 3y = 4 \)
2. \( 2x + y = 6 \)

### Langkah 1: Menulis dalam bentuk matriks
Kita dapat menulis persamaan tersebut dalam bentuk matriks seperti ini:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\
6
\end{pmatrix}
\]

Matriks ini memiliki bentuk umum \( A \cdot X = B \), di mana:
- \( A \) adalah matriks koefisien \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \),
- \( X \) adalah vektor yang berisi variabel \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \),
- \( B \) adalah vektor hasil \( \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} \).

### Langkah 2: Mencari invers matriks \( A \)
Untuk menyelesaikan \( X \), kita perlu menghitung invers dari matriks \( A \), yaitu \( A^{-1} \), dan kemudian mengalikannya dengan \( B \).

Invers dari matriks 2x2 \( A \) adalah:

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\]

Untuk matriks \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \), kita perlu menghitung determinannya terlebih dahulu:

\[
\text{det}(A) = (1 \cdot 1) - (3 \cdot 2) = 1 - 6 = -5
\]

Maka, invers matriks \( A \) adalah:

\[
A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}
\]

### Langkah 3: Mengalikan \( A^{-1} \) dengan \( B \)
Sekarang kita kalikan \( A^{-1} \) dengan \( B \):

\[
X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

Hasil perkalian matriks tersebut adalah:

\[
X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5}(4) + \frac{3}{5}(6) \\ \frac{2}{5}(4) - \frac{1}{5}(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{5} + \frac{18}{5} \\ \frac{8}{5} - \frac{6}{5} \end{pmatrix}
\]

Menyederhanakan hasilnya:

\[
X = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{2}{5} \end{pmatrix}
\]

### Langkah 4: Menuliskan nilai x dan y
Dari hasil di atas, kita peroleh:

\[
x = \frac{14}{5}, \quad y = \frac{2}{5}
\]

Jadi, nilai \( x = \frac{14}{5} \) dan \( y = \frac{2}{5} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

### 5 Pertanyaan Lanjutan:
1. Bagaimana cara memverifikasi hasil \( x \) dan \( y \) dengan substitusi kembali ke dalam persamaan asli?
2. Bagaimana metode invers matriks dibandingkan dengan metode eliminasi Gauss dalam menyelesaikan sistem persamaan linier?
3. Apa yang terjadi jika determinan matriks \( A \) bernilai nol?
4. Bagaimana cara menggunakan kalkulator ilmiah untuk menghitung invers matriks?
5. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier selain metode invers matriks?

### Tip:
Ketika determinan suatu matriks sama dengan nol, matriks tersebut tidak memiliki invers dan sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi unik.

Learn how to solve the system of linear equations x+3y=4 and 2x+y=6 using the matrix inversion method. This detailed solution includes matrix representation, determinant calculation, and matrix inversion, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation