riješi ovaj sustav jednadzbi koristeci gauss jordanovu metodu
4x+6y-8z=2
-x +z=2
2X +2y + 2z =6

Za rješavanje sustava jednadžbi koristeći Gauss-Jordanovu metodu, slijedimo korake kako bismo svaku jednadžbu doveli u oblik stepenaste matrice, a zatim i u reducirani stepenasti oblik. Sustav jednadžbi je:

\[
\begin{aligned}
4x + 6y - 8z &= 2 \quad \text{(1)}\\
-x + z &= 2 \quad \text{(2)}\\
2x + 2y + 2z &= 6 \quad \text{(3)}
\end{aligned}
\]

Korak 1: Pišemo proširenu matricu sustava:

\[
\begin{pmatrix}
4 & 6 & -8 & | & 2 \\
-1 & 0 & 1 & | & 2 \\
2 & 2 & 2 & | & 6 \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 2: Normaliziramo prvi redak dijeljenjem s 4 (prvi element u prvom stupcu):

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\
-1 & 0 & 1 & | & 2 \\
2 & 2 & 2 & | & 6 \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 3: Dodajemo prvi redak drugom retku da eliminiramo \(x\) iz drugog retka, te oduzimamo dvostruki prvi redak od trećeg retka:

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{3}{2} & -1 & | & \frac{5}{2} \\
0 & -1 & 6 & | & 5 \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 4: Normaliziramo drugi redak dijeljenjem s \(\frac{3}{2}\):

\[
\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & -1 & 6 & | & 5 \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 5: Dodajemo drugi redak trećem retku i oduzimamo \(\frac{3}{2}\) puta drugi redak od prvog retka:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{7}{3} & | & -\frac{3}{2} \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & \frac{16}{3} & | & \frac{14}{3} \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 6: Normaliziramo treći redak dijeljenjem s \(\frac{16}{3}\):

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{7}{3} & | & -\frac{3}{2} \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\
\end{pmatrix}
\]

Korak 7: Eliminiramo \(z\) iz prvog i drugog retka:

Dodamo \(\frac{7}{3}\) puta treći redak prvom retku:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{8} \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\
\end{pmatrix}
\]

Dodamo \(\frac{2}{3}\) puta treći redak drugom retku:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{8} \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\
\end{pmatrix}
\]

Dakle, rješenje sustava je:

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{5}{8} \\
y &= 2 \\
z &= \frac{7}{8}
\end{aligned}
\]

Želite li dodatna objašnjenja ili imate još pitanja?

**Relativna pitanja:**
1. Kako Gauss-Jordanova metoda funkcionira u slučaju da nema jedinstvenog rješenja?
2. Kako bi sustav izgledao kada bi umjesto 3 jednadžbe imali 4?
3. Kako se Gauss-Jordanova metoda koristi za rješavanje nehomogenih linearnih sustava?
4. Kako se Gauss-Jordanova metoda razlikuje od Gaussove eliminacije?
5. Može li se Gauss-Jordanova metoda koristiti za rješavanje nelinearnih sustava?

**Savjet:** Kada rješavate sustave jednadžbi koristeći Gauss-Jordanovu metodu, pažljivo pratite svaki korak kako biste izbjegli aritmetičke pogreške koje mogu utjecati na konačni rezultat.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gauss-Jordan method with a detailed step-by-step guide. This problem involves matrix operations and Gaussian elimination, suitable for college-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation