Math Problem Statement

riješi ovaj sustav jednadzbi koristeci gauss jordanovu metodu 4x+6y-8z=2 -x +z=2 2X +2y + 2z =6

Solution

Za rješavanje sustava jednadžbi koristeći Gauss-Jordanovu metodu, slijedimo korake kako bismo svaku jednadžbu doveli u oblik stepenaste matrice, a zatim i u reducirani stepenasti oblik. Sustav jednadžbi je:

4x + 6y - 8z &= 2 \quad \text{(1)}\\ -x + z &= 2 \quad \text{(2)}\\ 2x + 2y + 2z &= 6 \quad \text{(3)} \end{aligned}$$ Korak 1: Pišemo proširenu matricu sustava: $$\begin{pmatrix} 4 & 6 & -8 & | & 2 \\ -1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 2 & 2 & 2 & | & 6 \\ \end{pmatrix}$$ Korak 2: Normaliziramo prvi redak dijeljenjem s 4 (prvi element u prvom stupcu): $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 2 & 2 & 2 & | & 6 \\ \end{pmatrix}$$ Korak 3: Dodajemo prvi redak drugom retku da eliminiramo $$x$$ iz drugog retka, te oduzimamo dvostruki prvi redak od trećeg retka: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & -1 & 6 & | & 5 \\ \end{pmatrix}$$ Korak 4: Normaliziramo drugi redak dijeljenjem s $$\frac{3}{2}$$: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & -1 & 6 & | & 5 \\ \end{pmatrix}$$ Korak 5: Dodajemo drugi redak trećem retku i oduzimamo $$\frac{3}{2}$$ puta drugi redak od prvog retka: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{3} & | & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & \frac{16}{3} & | & \frac{14}{3} \\ \end{pmatrix}$$ Korak 6: Normaliziramo treći redak dijeljenjem s $$\frac{16}{3}$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{3} & | & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\ \end{pmatrix}$$ Korak 7: Eliminiramo $$z$$ iz prvog i drugog retka: Dodamo $$\frac{7}{3}$$ puta treći redak prvom retku: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{8} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & | & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\ \end{pmatrix}$$ Dodamo $$\frac{2}{3}$$ puta treći redak drugom retku: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{8} \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{8} \\ \end{pmatrix}$$ Dakle, rješenje sustava je: $$\begin{aligned} x &= -\frac{5}{8} \\ y &= 2 \\ z &= \frac{7}{8} \end{aligned}$$ Želite li dodatna objašnjenja ili imate još pitanja? **Relativna pitanja:** 1. Kako Gauss-Jordanova metoda funkcionira u slučaju da nema jedinstvenog rješenja? 2. Kako bi sustav izgledao kada bi umjesto 3 jednadžbe imali 4? 3. Kako se Gauss-Jordanova metoda koristi za rješavanje nehomogenih linearnih sustava? 4. Kako se Gauss-Jordanova metoda razlikuje od Gaussove eliminacije? 5. Može li se Gauss-Jordanova metoda koristiti za rješavanje nelinearnih sustava? **Savjet:** Kada rješavate sustave jednadžbi koristeći Gauss-Jordanovu metodu, pažljivo pratite svaki korak kako biste izbjegli aritmetičke pogreške koje mogu utjecati na konačni rezultat.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Equations
Matrix Operations
Gauss-Jordan Elimination

Formulas

-

Theorems

-

Suitable Grade Level

College Level

Related Recommendation

Solving System of Linear Equations Using Gauss-Jordan Elimination

Solve Systems of Equations with Gauss-Jordan Method - Detailed Solution

Solving Systems of Equations Using Gauss-Jordan Elimination

Solve System of Equations Using Gauss-Jordan Method: 2x + 2y - 2z = 22, 3x - y + z = -19, x - 4y + 2z = -74

Solve System of Linear Equations Using Gauss-Jordan Elimination