Resolveme el siguiente ejercicio de sistemas de ecuaciones con el método de Gauss Jordan
3x+6y-6z=9
2x-5y+4z=6
-x+16y-14z=-3

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss-Jordan. El sistema de ecuaciones dado es:

\[
\begin{aligned}
3x + 6y - 6z &= 9 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
2x - 5y + 4z &= 6 \quad \text{(Ecuación 2)}\\
-x + 16y - 14z &= -3 \quad \text{(Ecuación 3)}
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Formar la matriz aumentada
La matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 6 & -6 & | & 9 \\
2 & -5 & 4 & | & 6 \\
-1 & 16 & -14 & | & -3
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Realizar operaciones para convertir la matriz en su forma escalonada reducida

1. **Hacer el pivote en la primera columna, primer renglón:**
   - Dividimos la fila 1 por 3 para hacer que el pivote sea 1.
   
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & | & 3 \\
2 & -5 & 4 & | & 6 \\
-1 & 16 & -14 & | & -3
\end{pmatrix}
\]

2. **Anular los elementos debajo del pivote en la primera columna:**
   - Fila 2: \( F2 \rightarrow F2 - 2F1 \)
   - Fila 3: \( F3 \rightarrow F3 + F1 \)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & | & 3 \\
0 & -9 & 8 & | & 0 \\
0 & 18 & -16 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

3. **Hacer el pivote en la segunda columna, segundo renglón:**
   - Dividimos la fila 2 por \(-9\) para hacer que el pivote sea 1.

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 & | & 3 \\
0 & 1 & -\frac{8}{9} & | & 0 \\
0 & 18 & -16 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

4. **Anular los elementos arriba y debajo del pivote en la segunda columna:**
   - Fila 1: \( F1 \rightarrow F1 - 2F2 \)
   - Fila 3: \( F3 \rightarrow F3 - 18F2 \)

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{9} & | & 3 \\
0 & 1 & -\frac{8}{9} & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Interpretar la solución

La matriz escalonada reducida sugiere que:

\[
\begin{aligned}
x + \frac{2}{9}z &= 3 \\
y - \frac{8}{9}z &= 0 \\
0 &= 0
\end{aligned}
\]

Esto implica que:

\[
\begin{aligned}
x &= 3 - \frac{2}{9}z \\
y &= \frac{8}{9}z \\
z &= z \quad \text{(libre)}
\end{aligned}
\]

### Solución general:

La solución del sistema es:

\[
\begin{aligned}
x &= 3 - \frac{2}{9}z \\
y &= \frac{8}{9}z \\
z &= z
\end{aligned}
\]

Donde \(z\) es un parámetro libre. El conjunto solución se puede escribir como:

\[
(x, y, z) = \left(3 - \frac{2}{9}z, \frac{8}{9}z, z\right)
\]

¿Te gustaría detalles adicionales sobre este procedimiento o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta una solución paramétrica en un sistema de ecuaciones?
2. ¿Qué indica una fila de ceros en la matriz escalonada reducida?
3. ¿Cuál es la diferencia entre los métodos de Gauss y Gauss-Jordan?
4. ¿Cómo se resolvería el mismo sistema utilizando otro método, como sustitución o eliminación?
5. ¿Qué sucede si una matriz aumentada tiene más ecuaciones que incógnitas?

**Tip:** El método de Gauss-Jordan es útil para encontrar soluciones únicas, infinitas soluciones o determinar si no hay solución.

Learn how to solve systems of linear equations using the Gauss-Jordan method with a detailed step-by-step solution. This problem involves matrix operations and is suitable for students in Grades 10-12 studying advanced algebra.

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