Para resolver la integral $\int x(5x^2 - 7)^5 \, dx$ mediante sustitución, sigamos los pasos adecuados:

Paso 1: Identificar la sustitución

La expresión $5x^2 - 7$ es una buena candidata para la sustitución, ya que su derivada está relacionada con $x$. Definimos: $u = 5x^2 - 7$ Ahora derivamos $u$ respecto a $x$: $\frac{du}{dx} = 10x \quad \implies \quad du = 10x \, dx$

Paso 2: Ajustar la integral con la sustitución

En la integral original, tenemos $x \, dx$, pero necesitamos $10x \, dx$. Para compensar, reescribimos: $x \, dx = \frac{1}{10} \, du$

Entonces, la integral se convierte en: $\int x(5x^2 - 7)^5 \, dx = \int (u^5) \cdot \frac{1}{10} \, du = \frac{1}{10} \int u^5 \, du$

Paso 3: Resolver la integral en términos de $u$

$\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C$

Sustituyendo esto en la integral: $\frac{1}{10} \int u^5 \, du = \frac{1}{10} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{60} + C$

Paso 4: Sustituir $u$ de vuelta en términos de $x$

Recordamos que $u = 5x^2 - 7$, así que: $\frac{u^6}{60} + C = \frac{(5x^2 - 7)^6}{60} + C$

Respuesta final:

$\int x(5x^2 - 7)^5 \, dx = \frac{(5x^2 - 7)^6}{60} + C$

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o ejemplos adicionales?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en este tipo de integrales?
2. ¿Cuáles son las ventajas de usar el método de sustitución frente a otros métodos?
3. ¿Qué ocurre si se olvida ajustar el diferencial al sustituir?
4. ¿Cómo resolver esta integral sin sustitución?
5. ¿Qué papel juega la constante de integración $C$ en la solución?

Tip:

Siempre verifica la consistencia de tu sustitución derivando el resultado final para comprobar que coincide con la integral original.