Mari kita selesaikan integral berikut dengan menggunakan metode integral invers trigonometri:

$I = \int \frac{4x-7}{\sqrt{8 + 4x - 3x^2}} \, dx$

Langkah 1: Atur ulang bentuk kuadrat di dalam akar

Pertama, tuliskan kembali ekspresi kuadrat $8 + 4x - 3x^2$ agar terlihat lebih jelas: $8 + 4x - 3x^2 = -3x^2 + 4x + 8 = -3\left(x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\right)$

Selesaikan ekspresi dalam tanda kurung dengan menyelesaikan kuadrat sempurna: $x^2 - \frac{4}{3}x \quad \text{tambahkan dan kurangi} \quad \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{4}{9}.$ $x^2 - \frac{4}{3}x = \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9}.$

Substitusikan kembali: $-3\left(x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}\right) = -3\left[\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} - \frac{8}{3}\right].$

Sederhanakan konstanta: $-\frac{4}{9} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{9} - \frac{24}{9} = -\frac{28}{9}.$

Jadi: $8 + 4x - 3x^2 = -3\left[\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{28}{9}\right].$

Faktorkan keluar konstanta negatif: $8 + 4x - 3x^2 = \frac{28}{3} - 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2.$

Langkah 2: Substitusi untuk integral invers trigonometri

Bentuk di dalam akar sekarang menjadi: $\sqrt{8 + 4x - 3x^2} = \sqrt{\frac{28}{3} - 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2}.$

Agar lebih sederhana, gunakan substitusi: $u = x - \frac{2}{3}.$

Maka: $\sqrt{8 + 4x - 3x^2} = \sqrt{\frac{28}{3} - 3u^2}.$

Dengan konstanta di luar akar ini, kita dapat mengenali bentuk: $a^2 - u^2,$ yang cocok untuk integral invers trigonometri. Misalkan: $a^2 = \frac{28}{3}, \quad a = \sqrt{\frac{28}{3}}.$

Kemudian gunakan substitusi lebih lanjut, misalnya $u = a \sin\theta$.

Lakukan perhitungan lanjut untuk hasil akhir.

Jika ingin penjelasan lengkap detail, ingin bertanya?Berikut adalah 5 pertanyaan terkait untuk melanjutkan pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara mengenali bentuk kuadrat dalam integral untuk invers trigonometri?
2. Apa aturan menyelesaikan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat?
3. Bagaimana substitusi trigonometri $u = a \sin \theta$ mempermudah integral?
4. Apa peran konstanta dalam integral trigonometri dan cara menyederhanakannya?
5. Bagaimana menangani integral serupa dengan penyebut berbeda, seperti $\sqrt{ax^2 + bx + c}$?

Tip: Saat menemukan kuadrat dalam integral, selalu coba faktorkan atau lengkapi kuadrat terlebih dahulu sebelum memutuskan metode penyelesaiannya.