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Evalua la integral con el teotema fundamental del cálculo parte 2

La expresión que proporcionas es:

\[
5 \int_0^\pi e^x \, dx + 3 \int -\cos(x) \, dx
\]

Para resolverla utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 2, calcularemos las integrales y evaluaremos en los límites correspondientes.

### Paso 1: Evaluación de la primera integral
\[
\int e^x \, dx = e^x
\]
Entonces:
\[
5 \int_0^\pi e^x \, dx = 5[e^x]_0^\pi = 5(e^\pi - e^0) = 5(e^\pi - 1)
\]

### Paso 2: Evaluación de la segunda integral
La segunda integral es:
\[
\int -\cos(x) \, dx = -\sin(x)
\]
Entonces:
\[
3 \int -\cos(x) \, dx = 3[-\sin(x)] = -3\sin(x)
\]

Ahora evaluamos esta integral en los límites de \(0\) a \(\pi\):
\[
-3[\sin(x)]_0^\pi = -3(\sin(\pi) - \sin(0)) = -3(0 - 0) = 0
\]

### Paso 3: Suma de los resultados
El valor total de la expresión es:
\[
5(e^\pi - 1) + 0 = 5(e^\pi - 1)
\]

Este es el resultado final.

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna aclaración?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1?
2. ¿Cuál es la importancia de la exponencial \(e^x\) en el cálculo?
3. ¿Qué sucede si cambian los límites de integración en una integral definida?
4. ¿Qué representa geométricamente una integral definida?
5. ¿Cómo se resuelve una integral que involucra funciones trigonométricas complejas?

### Tip:
Siempre recuerda evaluar los límites superior e inferior después de integrar, y restar el valor del límite inferior del valor del límite superior.

Evalua la integral con el teorema fundamental del cálculo parte 2

Learn how to solve the integral expression 5 ∫_0^π e^x dx + 3 ∫ -cos(x) dx using the Fundamental Theorem of Calculus (Part 2). The problem involves key concepts of integration, exponential functions, and trigonometric identities. Suitable for advanced high school or early university students.

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