La expresión que proporcionas es:

$5 \int_0^\pi e^x \, dx + 3 \int -\cos(x) \, dx$

Para resolverla utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 2, calcularemos las integrales y evaluaremos en los límites correspondientes.

Paso 1: Evaluación de la primera integral

$\int e^x \, dx = e^x$ Entonces: $5 \int_0^\pi e^x \, dx = 5[e^x]_0^\pi = 5(e^\pi - e^0) = 5(e^\pi - 1)$

Paso 2: Evaluación de la segunda integral

La segunda integral es: $\int -\cos(x) \, dx = -\sin(x)$ Entonces: $3 \int -\cos(x) \, dx = 3[-\sin(x)] = -3\sin(x)$

Ahora evaluamos esta integral en los límites de $0$ a $\pi$: $-3[\sin(x)]_0^\pi = -3(\sin(\pi) - \sin(0)) = -3(0 - 0) = 0$

Paso 3: Suma de los resultados

El valor total de la expresión es: $5(e^\pi - 1) + 0 = 5(e^\pi - 1)$

Este es el resultado final.

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna aclaración?

Preguntas Relativas:

1. ¿Cómo se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1?
2. ¿Cuál es la importancia de la exponencial $e^x$ en el cálculo?
3. ¿Qué sucede si cambian los límites de integración en una integral definida?
4. ¿Qué representa geométricamente una integral definida?
5. ¿Cómo se resuelve una integral que involucra funciones trigonométricas complejas?

Tip:

Siempre recuerda evaluar los límites superior e inferior después de integrar, y restar el valor del límite inferior del valor del límite superior.