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Para resolver la integral dada, primero escribimos la expresión tal como aparece:

\[
\int \left(\frac{5x^2}{5\sqrt{x^4}} + \frac{2\pi}{25 + x^2}\right) dx
\]

Vamos a simplificar cada término y luego integrar.

1. **Simplificación del primer término:**
   \[
   \frac{5x^2}{5\sqrt{x^4}} = \frac{x^2}{\sqrt{x^4}} = \frac{x^2}{x^2} = 1
   \]

2. **El segundo término:**
   La integral del segundo término requiere de una técnica especial. Observamos que la forma de la integral sugiere el uso de la fórmula de la arcotangente (arctan):

   \[
   \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)
   \]

   Aquí, tenemos \( \frac{2\pi}{25 + x^2} \), donde \( a^2 = 25 \), entonces \( a = 5 \).

Ahora, integramos cada parte:

1. **Integral del primer término:**
   \[
   \int 1 \, dx = x + C_1
   \]

2. **Integral del segundo término:**
   \[
   \int \frac{2\pi}{25 + x^2} \, dx = 2\pi \int \frac{1}{25 + x^2} \, dx = 2\pi \left(\frac{1}{5}\arctan\left(\frac{x}{5}\right)\right) + C_2
   \]

   \[
   = \frac{2\pi}{5}\arctan\left(\frac{x}{5}\right) + C_2
   \]

Entonces, la solución completa es:

\[
x + \frac{2\pi}{5}\arctan\left(\frac{x}{5}\right) + C
\]

donde \( C = C_1 + C_2 \) es la constante de integración.

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta específica?

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1. ¿Cómo se simplifican fracciones con raíces?
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6. ¿Cómo se puede verificar la exactitud de una integral resuelta?
7. ¿Qué diferencia hay entre una integral definida e indefinida?
8. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las integrales en la vida real?

**Consejo:** Al resolver integrales, es útil memorizar las fórmulas estándar y sus derivadas inversas, como las de arctan, arcsin, y logaritmos, ya que son comunes en muchos problemas.

Learn how to solve the given integral ∫ (5x^2 / (5√(x^4)) + 2π / (25 + x^2)) dx step-by-step with detailed explanations. This problem involves simplifying fractions with roots and using the arctangent formula for integration. Suitable for college-level students.

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