Résoudre l’inéquation suivante : (x-5)(3x+2)+x^^2(x-5)

Pour résoudre l'inéquation suivante : \[(x-5)(3x+2) + x^2(x-5) > 0\]

Nous allons d'abord simplifier l'expression avant de résoudre.

### Étape 1 : Factorisation commune
Nous remarquons qu'il y a un facteur commun \((x-5)\) dans les deux termes. Factorisons-le :

\[
(x-5) \left[(3x+2) + x^2\right] > 0
\]

### Étape 2 : Simplification de l'expression
Simplifions l'expression dans les crochets \((3x+2) + x^2\) :

\[
x^2 + 3x + 2
\]

L'inéquation devient donc :

\[
(x-5)(x^2 + 3x + 2) > 0
\]

### Étape 3 : Factorisation du polynôme quadratique
Le trinôme \(x^2 + 3x + 2\) peut être factorisé en produits de deux binômes :

\[
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)
\]

L'inéquation devient donc :

\[
(x-5)(x+1)(x+2) > 0
\]

### Étape 4 : Résolution de l'inéquation produit
Nous devons résoudre cette inéquation en déterminant les signes du produit des trois facteurs \((x-5)\), \((x+1)\), et \((x+2)\).

Les racines de cette inéquation sont \(x = 5\), \(x = -1\), et \(x = -2\). Ces valeurs divisent la droite réelle en intervalles. Étudions le signe du produit dans chaque intervalle.

Les intervalles sont :

1. \(x < -2\)
2. \(-2 < x < -1\)
3. \(-1 < x < 5\)
4. \(x > 5\)

### Étape 5 : Étude du signe
Nous allons tester un point dans chaque intervalle pour déterminer le signe du produit dans cet intervalle.

1. Pour \(x < -2\) (par exemple \(x = -3\)) :
   \[
   (-3-5)(-3+1)(-3+2) = (-8)(-2)(-1) = -16 > 0
   \]
   Donc, l'inéquation est vérifiée dans cet intervalle.

2. Pour \(-2 < x < -1\) (par exemple \(x = -1.5\)) :
   \[
   (-1.5-5)(-1.5+1)(-1.5+2) = (-6.5)(-0.5)(0.5) = 1.625 < 0
   \]
   L'inéquation n'est pas vérifiée.

3. Pour \(-1 < x < 5\) (par exemple \(x = 0\)) :
   \[
   (0-5)(0+1)(0+2) = (-5)(1)(2) = -10 < 0
   \]
   L'inéquation n'est pas vérifiée.

4. Pour \(x > 5\) (par exemple \(x = 6\)) :
   \[
   (6-5)(6+1)(6+2) = (1)(7)(8) = 56 > 0
   \]
   L'inéquation est vérifiée dans cet intervalle.

### Étape 6 : Conclusion
L'inéquation \((x-5)(x+1)(x+2) > 0\) est vérifiée pour \(x \in ]-\infty, -2[ \cup ]5, +\infty[\).

Donc, la solution de l'inéquation est :

\[
x \in ]-\infty, -2[ \cup ]5, +\infty[
\]

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Voici 5 questions connexes pour approfondir :

1. Comment résoudre une inéquation de degré supérieur ?
2. Quelles sont les méthodes de factorisation des polynômes ?
3. Comment représenter graphiquement une inéquation ?
4. Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
5. Comment utiliser les intervalles pour résoudre des inéquations ?

**Tip** : Lors de la résolution d'une inéquation polynomiale, les points critiques divisent la droite réelle en intervalles qui peuvent être testés pour déterminer le signe du produit.

Résoudre l’inéquation suivante : (x-5)(3x+2)+x^2(x-5)

Learn how to solve the inequality (x-5)(3x+2) + x^2(x-5) using factorization and sign study. This detailed solution covers factorizing quadratic equations, analyzing intervals, and determining signs of polynomial products. Suitable for students in Grades 10-12.

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