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Resolver la desigualdad dada. Exprese su resultado en intervalo y gráficamente 

Para resolver la desigualdad \( \frac{2}{x} < -\frac{3}{2} \), sigamos estos pasos:

### Paso 1: Aislar la variable
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por \( x \) para eliminar el denominador. Sin embargo, debemos tener en cuenta que \( x \) podría ser negativo, por lo que esto afecta la dirección de la desigualdad:

- Si \( x > 0 \), la desigualdad se mantiene en la misma dirección.
- Si \( x < 0 \), la desigualdad cambia de dirección.

Entonces, obtenemos dos casos:

1. **Caso 1:** \( x > 0 \)
   \[
   \frac{2}{x} < -\frac{3}{2} \quad \text{(multiplicamos por \( x \))} \quad \Rightarrow \quad 2 < -\frac{3}{2}x
   \]
   Ahora, dividimos ambos lados por \(-\frac{3}{2}\) y cambiamos la dirección de la desigualdad:
   \[
   x > \frac{2}{-\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3}
   \]

   **Intervalo para este caso:** \( x \in (-\infty, -\frac{4}{3}) \).

2. **Caso 2:** \( x < 0 \)
   \[
   \frac{2}{x} < -\frac{3}{2} \quad \text{(multiplicamos por \( x \))} \quad \Rightarrow \quad 2 > -\frac{3}{2}x
   \]
   Ahora, dividimos ambos lados por \(-\frac{3}{2}\) y cambiamos la dirección de la desigualdad:
   \[
   x < \frac{2}{-\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3}
   \]

   **Intervalo para este caso:** \( x \in (-\frac{4}{3}, 0) \).

### Paso 2: Unión de los intervalos
Juntando los resultados obtenidos de ambos casos, la solución final es:
\[
x \in (-\infty, -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}, 0)
\]

### Paso 3: Representación gráfica
La solución se representa en la recta numérica como la unión de dos intervalos:

- Un intervalo abierto desde \(-\infty\) hasta \(-\frac{4}{3}\).
- Otro intervalo abierto desde \(-\frac{4}{3}\) hasta \(0\).

Gráficamente, se puede dibujar una línea en la recta numérica excluyendo los puntos \(-\frac{4}{3}\) y \(0\), que no están incluidos en la solución.

---

¿Te gustaría que te explique algo en más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se resuelven desigualdades cuando se multiplican ambos lados por una variable?
2. ¿Qué ocurre con la dirección de la desigualdad cuando se multiplica por un número negativo?
3. ¿Cómo se expresan soluciones en términos de intervalos?
4. ¿Qué métodos gráficos existen para representar desigualdades en la recta numérica?
5. ¿Cómo afectan los signos de la variable a las soluciones de desigualdades?

**Tip:** Siempre ten en cuenta el signo de la variable al multiplicar o dividir en una desigualdad, ya que esto puede cambiar la dirección de la desigualdad.

Learn how to solve the inequality (2/x) < (-3/2) step-by-step, including isolating the variable, determining direction changes in inequalities, and representing solutions graphically. This problem covers key concepts in inequalities and is suitable for Grades 9-12.

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